Sombras en perspectiva cónica

Perspectiva de prisma y cuña: sombras

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En la figura podemos observar un objeto representado en tres dimensiones y su perspectiva sobre el plano del cuadro amarillo. La planta de la figura formada por un prisma y una cuña está abatida y es coplanar con el plano del cuadro. Al prolongar los lados de la figura, por ejemplo (a) como tenemos que se cortan en la línea de tierra o eje de giro del abatimiento, o también recta intersección del plano de cuadro (en amarillo) con el plano geometral (plano horizontal del suelo en color gris). Cada recta abatida corta a la línea de tierra en un punto que denominamos traza Ta.
La pieza, mantiene fundamentalmente dos direcciones definidas por las rectas d d ‘. Por el punto de vista V se hacen rectas paralelas a ambas hasta que cortan al plano del cuadro en los puntos de fuga F F’, si unimos estos puntos con las trazas correspondientes de cada recta obtenemos la perspectiva de cada una de las rectas de la figura, por ejemplo la recta a’.
La perspectiva de la figura es lo que ve un sujeto que coloca su punto de vista donde está marcado en el dibujo, esto quiere decir que la pieza y su representación sobre el plano del cuadro son coincidentes para ese punto de vista, o lo que es lo mismo cada punto de la figura y su perspectiva está alineado con el punto de vista.








En la figura podemos observar la representación en perspectiva del ejercicio anterior, solapada con la representación en alzado de la pieza y el abatimiento de la proyección en planta por debajo de la línea de tierra.
Las alineaciones que hacían corresponder cada punto de la figura con su perspectiva y con el punto de vista, difieren en esta nueva representación ortogonal, aquí lo que se da es que la proyección ortogonal de los elementos anteriores sí que están alineadas, esto quiere decir que el punto principal P, la perspectiva de un punto y el punto correspondiente de la pieza sí que son los tres elementos perfectamente colineales.
Las alturas de la figura se colocan sobre la línea de tierra y se proyecta esta longitud hasta cada uno de los puntos de fuga, donde intercepta a los puntos de la base de la figura en perspectiva se levantan verticales hasta que corten a la recta superior del segmento proyectado sobre el punto de fuga.














Para calcular las sombras de la figura, tenemos que los rayos solares d a son paralelos por estar el sol infinitamente lejos,-simplificación geométrica que facilita la ejecución del ejercicio.
El conjunto de todos los rayos solares paralelos definen la dirección del sol, y cada una de las proyecciones ortogonales de estos rayos sobre el plano del cuadro d’ determinan la dirección por el suelo de cada uno de los rayos.
Para determinar la sombra de cada elemento de la figura basta con calcular las sombras de los puntos (que son, por ejemplo, la intersección de la dirección del rayo de luz d, y su proyección ortogonal d’ sobre el plano geometral) marcar y diferenciar la zona a la que no llega la luz. De esta manera se tiene que todos los triángulos que pasan por los puntos de la figura n son todos triángulos semejantes con las tres direcciones de los lados coincidentes.
Tenemos también que si una cara de la figura es paralela al suelo, como la proyección cilíndrica o por paralelas de una figura sobre un plano paralelo al anterior transforma esta figura en otra idéntica, se desprende que todas las aristas de la figura de son paralelas al plano geometral permanecen paralelas sus sombras (la recta n es paralela a la recta ns).
Para determinar los dos puntos de fuga correspondientes a la dirección de los rayos solares y a sus proyecciones sobre el suelo o plano geometral se hace por el punto de vista V dos rectas paralelas a ambas b b’, en los puntos de intersección de estas dos rectas con el plano del cuadro PC tenemos el punto de fuga de todos los rayos solares y el punto de fuga de todas las proyecciones de los rayos solares sobre el suelo, respectivamente.

Perspectiva y sombras de figura en forma de L

En la figura observamos la perspectiva cónica de un prisma en forma de L. Partimos para su construcción de la planta de la figura, cuadrilátero de color verde del que prolongamos sus lados hasta que cortan a la línea de tierra LT en varios puntos llamados trazas y que unimos con los puntos de fuga F1 F2, estos puntos de fuga los obtenemos haciendo por el punto de vista rectas paralelas m’ n’ a las líneas anteriores m n. La Unión de cada punto de fuga con la traza correspondiente de cada recta determina la perspectiva de cada una de las rectas de la base de la figura.
Para calcular la sombra de la figura que provoca una luz solar definida por L y su proyección sobre la línea de horizonte L’, alineamos cada uno de los puntos de la figura con L, así por ejemplo tomamos A y hacemos la recta LA, en su prolongación corta a la proyección ortogonal t de esta recta s sobre el plano, que no es otra recta que la que alinea la proyección del punto de luz solar L’ sobre el horizonte con la proyección ortogonal del punto A sobre el plano geometral u horizontal, llamado A’. La intersección de las rectas s t es la sombra As del punto A, y la sombra del segmento vertical AA’ es el segmento As-A’. Todas las sombras de los segmentos verticales sobre el plano del suelo o geometral concurren en el punto de fuga del horizonte L’, mientras que todos los rayos solares que irradian del sol concurren en el punto de fuga L, que no es otra cosa que el punto de luz solar.










En la figura podemos observar el prisma en forma de L detrás del plano del cuadro y su perspectiva sobre el plano del cuadro. La perspectiva de la figura no es más que la intersección del plano del cuadro con todas las rectas que unen el punto de vista V con cada uno de los puntos de la figura. La dirección de los rayos de luz viene determinada por la línea k, donde ésta corta al plano del cuadro tenemos la imagen del sol sobre el plano del cuadro, o lo que es lo mismo, el punto de fuga de todos los rayos solares. Mientras que la proyección vertical de éste punto sobre la línea del horizonte define el punto de fuga de todas las líneas de sombra correspondientes a las rectas verticales sobre el plano horizontal, esta recta queda determinada en el espacio por la línea w y su punto de fuga está sobre la línea del horizonte por ser ésta una línea horizontal.





En la figura podemos observar otra perspectiva diferente del ejercicio anterior resuelto en el espacio, el fundamento del punto de luz solar L con la dirección VL correspondiente a los rayos solares y su proyección sobre la línea del horizonte L’ donde concurren todas las sombras horizontales o sobre el plano geometral de los segmentos verticales de la figura.

Cónica del prisma por puntos métricos y sombras propias y arrojadas:

Sombras del sol en un cubo

En el dibujo podemos observar la perspectiva cónica frontal de un cubo iluminado por luz solar. Para calcular la sombra que arroja sobre el suelo tenemos que hacer una recta vertical por el sol S hasta que corte a la línea del horizonte LH en el punto S’. los puntos correspondientes a la sombra arrojada de la figura se determinan por la intersección de cada recta e f g que pasa por cada punto de la figura A B C y por el sol S con cada recta que pasa por la proyección del punto sobre el suelo A’ B’ C’ y la proyección del sol sobre el suelo S’. El procedimiento es exactamente igual que si tenemos en un cuarto una bombilla o punto de luz que ilumina un objeto. La sombra de cada punto del objeto es la intersección de cada rayo de luz que pasa por el punto del objeto y el punto de luz de la bombilla con la proyección de ese rayo de luz sobre el suelo, esto es la línea que pasa por la proyección ortogonal de la bombilla sobre el suelo y la proyección ortogonal del punto sobre el suelo.
En la figura tenemos que si alineamos el sol S con un punto cualquiera C y alineamos la proyección del sol sobre el horizonte S’ con la proyección del punto sobre el plano horizontal C’ tenemos que en la intersección de ambas rectas g g’ se genera la sombra del punto Cs. La sombra del objeto corresponde al contorno que separa la luz de la sombra, esto quiere decir que allí donde no llega la luz: A’ A B C C’ es la zona de sombra propia del objeto -las caras en color verde y naranja- y la sombra de ambas son los dos cuadriláteros que forman el polígono irregular de color azul.








Como el procedimiento de la perspectiva es el abatimiento de la cara en planta del cubo, la figura sale al revés, esto quiere decir que la sombra en planta aparece hacia arriba, dirigida a la línea de tierra. Una vez que hemos construido la perspectiva de la figura y sus sombras propia y arrojada, vamos a determinar los datos de esa luz solar. Alineando el punto principal P con el sol y haciendo una recta perpendicular a ésta línea obtenemos el punto de vista abatido (V), que unido con el sol determina la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyo ángulo en color violeta define el ángulo que forma cada rayo solar con el plano del cuadro.
Si abatimos el triángulo que determina la línea definida por el sol y su proyección sobre el horizonte S’ y V en el espacio, tomando esta misma recta como eje de giro obtenemos la altitud o ángulo que forma cada rayo solar con el plano horizontal, esto es, el ángulo al que está el sol respecto al horizonte (en el dibujo aparece de color azul oscuro).
Si prolongamos la sombra de la figura en planta hasta que corta a la línea de tierra, considerando esta como la línea norte-sur, tenemos que el ángulo que forman las dos rectas es el acimut. En el dibujo hemos tomado el ángulo en planta de derecha izquierda, aunque considerando que en la planta por estar abatida la figura aparece invertida, el ángulo real sería de 180° menos el triángulo ocre.








Ángulo entre los rayos solares el plano del cuadro
En la figura podemos observar el fundamento del ejercicio anterior, por el punto de vista PV hemos hecho una recta paralela a los rayos de sol hasta obtener el punto de fuga de los rayos de sol, o lo que es lo mismo la dirección en la cual está el sol. Como podemos observar en el dibujo, hemos abatido a continuación este triángulo azul para obtener el ángulo ñ que forma la dirección de los rayos solares con el plano del cuadro.






La altitud
En la figura podemos observar el ángulo g que forman los rayos de sol respecto al plano horizontal. Si consideramos el triángulo que contiene este ángulo de color rojo en el dibujo y la línea tomada como eje de giro que pasa por el sol y su proyección S’ sobre la línea de horizonte, no hay más que abatir este triángulo amarillo respecto al eje de giro para en la transformación obtener la altitud sobre el plano del cuadro en verdadera forma. En el dibujo se ve expresado este giro mediante el arco en cuyo desplazamiento deja una franja de color roja.









El acimut
En la figura hemos representado la línea norte-sur como la línea de tierra. El ángulo a la derecha que forma la dirección de cada línea de sombra correspondiente a un elemento vertical con esta línea es el acimut. En consecuencia si unimos el punto de vista con la proyección del sol sobre la línea de horizonte S’ obtenemos la dirección x de las líneas de sombra por el suelo, el ángulo que forma esta línea con la línea de tierra es el acimut. Como contamos el ángulo hacia la derecha, 180° menos el ángulo menor que hemos marcado en color ocre, determina el ángulo que forma x’ y la línea de tierra, esto es, el acimut.

Sombras de postes verticales

En el dibujo podemos observar unos segmentos verticales en color rojo y un camino c paralelo a los mismos en color naranja. Para calcular la sombra arrojada de los segmentos verticales con el sol S situado delante del observador, se hace una línea vertical desde el punto donde está el sol hasta que corte a la línea del horizonte LH en el que va a ser el punto de fuga Fs de las líneas horizontales de sombra: as , que es la sombra de un segmento vertical y todos los demás segmentos verticales que se cortan en el punto de fuga Fs.
Si tomamos un segmento vertical a y alineamos su base con el punto de fuga Fs tenemos una recta que es la sombra del segmento vertical (la sombra está entre el objeto y nosotros si el sol está delante nuestra, mientras que si el sol está detrás nuestro la sombra del objeto estaba detrás del mismo) y el límite o extremo del mismo está alineado con el extremo del segmento y con el sol. Esto quiere decir que si alineamos todos los extremos de los segmentos hasta que se cortan en el punto principal P,-ya que la línea que une sus extremos es perpendicular al plano del cuadro-, los extremos de las sombras de los segmentos también se cortarán sobre el punto principal, pues en el espacio son dos rectas paralelas y por lo tanto tienen el mismo punto de fuga P (en el dibujo se puede observar que las dos rectas m ms se cortan en el punto P).
Si desde el sol hacemos una recta hasta el punto principal P y por éste una perpendicular a esa recta tenemos que ésta corta al círculo de distancia en el punto de vista abatido (V’). Uniendo este punto con el sol S tenemos que esta recta (V’)-S y la recta S-P forman un ángulo g que es el que forman los rayos del sol con el plano del cuadro, ya que la recta (V’)-S es paralela a los rayos del sol por tener en éste el punto de fuga, por lo tanto el ángulo g es el que forman los rayos de sol con el plano del cuadro PC.
Podemos observar también en el dibujo la altitud k del sol, esto es, la altura a la que está el sol respecto al plano horizontal, ella queda definida por el ángulo que forma cada rayo de luz con el suelo y se obtiene haciendo por V (el punto de vista) una paralela a estas rectas, esto quiere decir: una recta paralela a los rayos solares por el punto de vista tiene que pasar necesariamente por el punto de fuga de los rayos solares. Basta con abatir esta recta tomando como eje de giro la línea que pasa por el sol S y su proyección ortogonal sobre el horizonte Fs, con lo que tenemos que el punto de vista abatido respecto a estos dos puntos del eje de giro FS-S queda en la posición (v’’) y por lo tanto el ángulo k que aparece en color rojo es la altitud del sol.








Aquí podemos observar el ejercicio anterior con su fundamento en el espacio, la dirección de un rayo de luz en color rojo con dirección al sol queda definida en la perspectiva por una línea paralela a esta recta y que pasa por el punto de vista PV, esta línea de color rojo también corta al plano del cuadro en la imagen o punto homólogo del sol sobre el cuadro, esto es, S. Todos los rayos de sol como son considerados paralelos a la recta roja tienen el mismo punto de fuga en la perspectiva de el sol S, y la protección de los rayos solares sobre el plano del suelo o plano horizontal son rectas paralelas cuya dirección queda definida por una paralela Ths por el punto de vista a las mismas hs hasta que corta al plano del cuadro en el punto Fs. Como por el punto de vista hicimos una paralela a cualquier rayo solar y una paralela a su proyección ortogonal sobre el suelo, tenemos que estas dos rectas pasan por el punto de vista y que por lo tanto se cortan, ello quiere decir que determinan un plano vertical que pasa por el punto de vista, de lo que se desprende que el sol y su punto de fuga sobre el horizonte quedan siempre alineados sobre la vertical que determina la intersección del plano del cuadro con el plano vertical que pasa por el punto de vista y por la perspectiva del sol y su proyección sobre el horizonte.







En este ejercicio podemos ver el caso en el que el sol está detrás del observador. El hecho de que las bases de los segmentos verticales estén alineadas en una recta que pasa por el punto principal P y que las sombras de los segmentos se corten en un punto de fuga F que pasa por la intersección del círculo de distancia y de la línea de horizonte, significa que el ángulo que forman las sombras y el plano del cuadro es de 45°. En este caso tenemos otros dos puntos de fuga, uno el que corresponde al punto de fuga de las rectas horizontales o sombras de los segmentos verticales, que obviamente está sobre el horizonte. El otro punto de fuga está necesariamente sobre la vertical del punto de fuga anterior y queda por debajo del horizonte siempre que el sol esté detrás del observador.
Como en el ejercicio anterior tenemos también que los vértices superiores de los segmentos están alineados por tener la misma altura y que fugan todos al punto principal, por tanto los vértices de las sombras de los segmentos gozan de la misma condición: la recta que los une se corta en el mismo punto de fuga que la anterior, que en este caso es el punto principal P. Si unimos el punto de fuga F’ de los rayos solares con el punto principal P y por este último hacemos una recta perpendicular a la recta anterior, obtenemos en la intersección con el círculo de distancia un nuevo punto de vista abatido (V’), que unido con el punto de fuga anterior define el ángulo g que forman los rayos solares con el plano del cuadro.
De igual forma si hacemos un abatimiento del plano que pasa por el punto de vista y por los puntos de fuga F F’, tomando esta recta definida por los dos puntos como eje de giro, obtenemos el abatimiento del triángulo rectángulo que define el ángulo que forman los rayos solares con el plano horizontal: es el ángulo k ya que por este pasa el punto de vista abatido respecto al eje FF’ y la horizontal que pasa por el punto F’ que es la recta F’T.






En este ejercicio podemos observar el fundamento del ejercicio anterior: por el punto de vista hemos hecho dos rectas paralelas a la dirección de los rayos solares (en color rojo) y a la dirección de sus proyecciones ortogonales sobre el suelo (en color negro). Estas dos direcciones que pasan por el punto de vista PV determinan en el plano del cuadro los dos puntos de fuga correspondientes a la dirección de los rayos solares en color rojo y a la dirección de sus proyecciones sobre el suelo en color negro.
El ángulo que forman los rayos de sol con el plano del cuadro viene determinado por las rectas: la que pasa por el punto de vista y punto de fuga F’ y la que pasa por el punto principal y por el punto de fuga F’.
El ángulo que forman los rayos solares con el plano horizontal o altitud es el mismo ángulo que forma la recta d con su proyección ortogonal sobre el plano horizontal r. Ese ángulo es el que corresponde en el dibujo anterior a k, con la salvedad de que en el mismo se hizo la recta horizontal paralela a la recta r e incidente en el punto F’.

Sombras de una escena

En la figura podemos observar una escena en perspectiva cónica de plano inclinado, ya que las verticales también concurren en un punto. Cuando la luz es puntual –este caso-, el procedimiento de cálculo de las sombras es idéntico al que corresponde a la Perspectiva axonométrica (proyección ortogonal de una figura en la cual las aristas paralelas permanecen paralelas). El punto de luz queda definido por su posición L y su proyección ortogonal sobre el suelo L’. Para calcular las sombras arrojadas de las figuras basta con alinear el punto proyectado sobre el suelo L’ con la proyección ortogonal de cada punto de la figura sobre el suelo. De esta forma, por ejemplo, para obtener la sombra del punto C, unimos el punto de luz L con C, unimos también la proyección ortogonal del punto de luz L’ con la proyección ortogonal C’ del punto C. La intersección de ambas rectas genera la sombra del punto C, que es C’. La sombra del segmento Cm será el segmento C’m. En el caso del cono -en la figura- este detalle no se cumple por tener sus generatrices inclinadas, sólo es válido para la circunferencia de la base.
Como se puede observar en la figura, las figuras circulares o elípticas están rodeadas por un supuesto cono de luz circunscrito a la superficie, cuya intersección con el plano del suelo determina el contorno de la sombra arrojada de la superficie sobre el suelo. En consecuencia siendo la luz un punto, es en realidad el vértice de un cono o de una pirámide circunscrita a la figura cuya línea de tangencia a la superficie determina la línea separatriz entre luz y sombra propia de la figura.






Para calcular la reflexión de objetos que están separados como pasa en la figura en el caso del prisma de color morado que se refleja sobre el verde, se prolongan las aristas de la figura verde hasta que cortan a otra figura que se toma como referencia, como en este caso el tabique que toca la otra figura. De esta forma lo que se trata es de hacer un plano que pase por la cara superior del prisma verde y que corte a todos los objetos circundantes, de esta manera se está haciendo el plano de simetría en el que se van a reflejar cada uno de los puntos de la figura. De esta manera el plano de la cara superior del prisma verde es el que corresponde a las líneas m n ñ, en consecuencia la reflexión del punto A respecto a este plano de simetría es el punto A’.
De igual forma la reflexión del cilindro sobre el prisma viene determinado por el plano de simetría cuya arista de la base es o, haciendo desde un punto B la perpendicular a ésta línea obtenemos la simétrica de B, que es el punto B’, reflejo del anterior.

Sombras de un detalle de arquitectura

En el dibujo podemos observar en detalle la sombra propia y arrojada de una casa. La dirección de los rayos de luz considerados paralelos viene determinada por la recta d y su proyección ortogonal sobre el plano horizontal viene definida por la recta d’. Para calcular la sombra de A, se pasa por el punto un rayo de luz de dirección d, y por la proyección ortogonal del punto sobre el suelo A’ se pasa la proyección del rayo solar d’, esta recta corta al plano del muro en un punto por el que se hace una recta vertical v que corta a la dirección d del rayo solar en el punto P. Por éste punto se hace una recta r paralela a la arista del muro superior, ya que esta recta es paralela al muro. Para saber la pendiente que la sombra va a tener sobre el detalle del marco de la puerta, en el punto de intersección de la recta r con el marco de la puerta hacemos una vertical w hasta que corta al arista superior del muro s, en el punto de corte hacemos una recta u perpendicular al muro, ya que debe contener al plano del marco de la puerta y en el borde del muro z lo unimos con el punto de intersección de la recta r y el marco, obteniendo de esta forma la pendiente de la sombra del muro saliente sobre el marco de la puerta. Para calcular la intersección o sombra sobre detalles oblicuos como puede ser la puerta abierta de la casa, basta con considerar que tenemos siempre las cuatro direcciones paralelas: la dirección del rayo y su sombra y las dos líneas verticales que definen los extremos del trapecio, por ser todos planos verticales. De esta forma por el marco de la puerta hacemos una recta vertical m hasta que corta a su proyección en el suelo, por éste punto pasamos la dirección d’ que corta a la base de la puerta por un punto por el que hacemos una recta vertical x que corta a la dirección del rayo de luz en el punto L. Como cualquier recta queda determinada por dos puntos, basta con hacer la misma operación por otro punto, obteniendo así la dirección de la sombra de cualquier recta, en este caso del marco superior de la puerta sobre la puerta.