Perpendicularidad

En perspectiva cónica si dos elementos son perpendiculares, se relacionan en la antipolaridad respecto al círculo de distancia: esto quiere decir que si por los elementos límites de las rectas y/o planos hacemos rectas hasta el punto de vista, estas son perpendiculares. En el siguiente blog está explicado en detalle en el apartado de perpendicularidad:
http://proyeccion-central-conica.blogspot.com/


Dadas dos rectas que se cruzan (en el dibujo en color rojo y azul –a b-, con líneas discontinuas por estar detrás del plano del cuadro amarillo y con sus perspectivas –a’ b’- con trazo continuo sobre el plano del cuadro), determinar una perpendicular común m a ambas. 
Se trata de hacer una recta m que corte a una de ellas a y por lo tanto determine un plano con ella. Haremos que esa misma recta m corte a la otra b determinando otro plano. Los dos planos se cortan según una recta de intersección que es la perpendicular común m a ambas rectas. De ello se desprende que el punto límite de la perpendicular a ambas es el antipolo L’m de la recta límite que contiene a los dos puntos límites de las rectas dadas L’a L’b. 
Por el punto de vista V hacemos una recta perpendicular al plano que pasa por V y por los puntos límites de las rectas L’a L’b. Esta recta corta al plano del cuadro en el punto límite L’m. 
Unimos los puntos límites de las rectas dadas L’a L’b. con éste. Por las trazas de las rectas Ta Tb hacemos rectas paralelas a estas dos rectas L’a-L’m L’b-L’m. De esta manera tenemos determinados dos planos que pasan por las rectas dadas a b y que se cortan sus trazas en la traza de la recta buscada Tm.
Si tenemos la traza de la recta y el punto límite de la misma, ya tenemos determinada la recta perpendicular a las dos rectas dadas, y esto era lo que buscábamos.

Aquí tenemos el ejercicio resuelto en el sistema diédrico y en perspectiva cónica. Unimos los puntos límites de las rectas dadas L’a L’b y por el punto principal P hacemos una perpendicular a esta recta de unión. La prolongación de esta perpendicular determina el antipolo L’m. Como sabemos, este punto lo tenemos al abatir el triángulo azul que se puede observar en perspectiva en el ejercicio anterior, y en este ejercicio no podemos observar en el triángulo rectángulo del dibujo.
El nuevo punto límite calculado L’m unido con los puntos límites de las rectas dadas L’a L’b nos determina dos direcciones que las utilizamos para hacer rectas por las trazas de las rectas dadas Ta Tb. Estas trazas corresponden a planos que contienen a las rectas dadas a b y que se cortan en la recta perpendicular común m. Esta recta m es la perpendicular común a las rectas a b.
En el dibujo de la derecha con el fondo blanco podemos observar el perfil de los elementos. El punto principal P sobre el plano del cuadro y su distancia al punto de vista V (radio del círculo de distancia), así como la orientación de las tres rectas a b m con sus trazas o puntos de intersección en el plano del cuadro y sus puntos límites o punto de intersección de la intersección de sus direcciones incidentes en el punto de vista con el plano del cuadro.








si una recta r es perpendicular a un plano m , se tiene que su punto límite L’r se corresponde en la antipolaridad respecto al círculo de distancia con la recta límite del plano l’m. Esta recta límite la tomamos como eje de giro para obtener en el abatimiento del plano que pasa por el centro de proyección O, el centro abatido O’’. Como esa transformación no la podemos hacer en una proyección ortogonal que es la que corresponde a la vista en el alzado de una perspectiva cónica, hacemos primero el giro de un plano ortogonal que pasa por el centro de proyección O y es perpendicular a la recta límite del plano l’m. Al abatir este plano que pasa por el centro de proyección O obtenemos el centro de proyección abatido (O) sobre el círculo de distancia. A partir de ahí ya sólo hay que pasar la distancia a de este punto al de la intersección de la recta límite l’m con la recta perpendicular a ésta que pasa por el punto L’r, obteniendo de esta forma el centro de proyección abatido O’’.



aquí podemos observar el ejercicio anterior en sistema diédrico. La proyección en alzado es en realidad la perspectiva cónica del ejercicio. Las vistas en representación de planta y perfil sirven para mostrar los elementos del ejercicio. 











aquí podemos observar otro ejercicio de perpendicularidad. Una recta a que es perpendicular a un plano m. Como podemos ver en esta representación espacial la recta límite del plano l’m y el punto límite de la recta L’a, poseen cierta condición: si unimos el centro de proyección de la perspectiva O con el punto límite L’a de la recta a, tenemos que el plano que pasa por la recta l’m y por O es perpendicular a ésta. Esto es debido a que si la recta es perpendicular al plano en el espacio, como por el centro de proyección hemos hecho otro plano paralelo al plano y otro recta paralela a la primera, las condiciones de perpendicular persisten al hacer elementos paralelos a los datos.
En el ejercicio tenemos también una recta b que pertenece al plano por tener su traza y punto límite en la traza y recta límite del plano.
Como la recta a es perpendicular al plano m se tiene que es perpendicular a todos las rectas del plano, de lo que se desprende que la recta a y la recta b son perpendiculares. Podemos comprobar su perpendicularidad cuando unimos el punto O con los puntos límites de las rectas. Estas dos rectas reunión determinan la dirección de las dos rectas perpendiculares en el espacio, por lo que tenemos que son perpendiculares necesariamente. Este dato se puede comprobar al abatir el plano que contiene ambas rectas que pasan por el centro de proyección O.




aquí tenemos el ejercicio resuelto el sistema diédrico, la recta a perpendicular al plano m y a la recta b.












en este ejercicio tenemos un plano azul perpendicular a otro amarillo. La condición para que dos planos sean perpendiculares es que uno de ellos pase por una recta perpendicular al anterior (el azul incide en una recta que es perpendicular al plano amarillo). En el dibujo observamos una recta a perpendicular al plano amarillo m por la que se traza el plano azul b.





el ejercicio anterior resuelto en el sistema diédrico muestra en el alzado la perspectiva cónica de los elementos perpendiculares: la recta a perpendicular al plano m, por esta recta se pasa un plano cualquiera (el plano b de color azul) y tenemos que este plano siempre es perpendicular al anterior. Como podemos observar en la planta del ejercicio, por el centro de proyección de la perspectiva O trazamos una recta paralela a la recta dada a y obtenemos así el punto límite de la misma que subimos al alzado L’a. La planta nos determina en el punto de corte de la recta a con el plano del cuadro (en color verde en el alzado) la traza de la misma que subimos al alzado obteniendo el punto Ta. En el alzado o representación en perspectiva cónica tenemos la traza y recta límite del plano tm l’m.
Los elementos límites de la recta y del plano se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia, detalle que no se ha puesto para no llenar de líneas el dibujo, pero se puede seguir una explicación detallada en la página: http://proyeccion-central-conica.blogspot.com/.
El plano azul pasa por la recta a porque la traza y recta límite del mismo pasan por la traza y el punto límite de la recta a, respectivamente. Como el plano azul pasa por una recta perpendicular al plano amarillo se tiene que es perpendicular al plano amarillo.













otro ejemplo donde se observan dos rectas perpendiculares a un plano, los puntos límites de las rectas son coincidentes, esto quiere decir que las rectas son paralelas. Si trazamos por la recta que pasa por los puntos límites, por el punto principal (proyección ortogonal del centro de proyección sobre el plano del cuadro) y por el que corta a la traza del plano en el punto G, un plano ortogonal al plano del cuadro que pase por el centro de proyección V, tenemos dos rectas perpendiculares: L’a-V es perpendicular a V-G. Esto quiere decir que la recta a es perpendicular al plano, y la recta b por ser paralela a ella también. 




el ejercicio desde otro punto de vista.




















En el dibujo tenemos una recta perpendicular a a un plano azul g que corta al plano del cuadro en su traza tg. Por el punto de vista V hacemos una recta paralela a la recta dada a obteniendo en la intersección con el plano del cuadro PC su punto de fuga F’a. La recta queda determinada en perspectiva por su traza Ta y su punto de fuga F’a. 
Con el plano seguimos el mismo procedimiento, dado el plano azul g hacemos por el punto de vista un plano paralelo x al dado hasta que corta al plano del cuadro en la recta de fuga del plano fg. Como podemos observar en el dibujo la traza y la fuga del plano son paralelas.
También se puede observar en el dibujo la proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro que es el punto principal P. Si por el punto principal hacemos una recta perpendicular a la recta de fuga del plano fg tenemos que la prolongación de esta recta pasa por el punto de fuga de la recta F’a. 
Tenemos también que por el punto de vista V si se hace un plano perpendicular al plano del cuadro PC corta a la recta de fuga del plano fg en el punto N. Si unimos este punto N con el punto de vista V y hacemos por éste una recta perpendicular a ésta tenemos que la recta perpendicular pasa por el punto de fuga de la recta F’a. Ello es debido a que existe una analogía entre lo que sucede en el espacio con la recta a y el plano g perpendicular y lo que sucede en torno al punto de vista, ya que por el punto de vista hemos hecho paralelas a los dos elementos, por lo que tenemos que las dos rectas que pasan por el punto de vista y que determinan la dirección del plano y de la recta dada son perpendiculares. 
Como se puede comprobar en la página de proyección central, cuando dos elementos son perpendiculares, como una recta y un plano, se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia, que es lo que se acaba de ver en el dibujo.
Si quisiéramos calcular la intersección de la recta perpendicular con el plano azul y trabajar sobre él, tendríamos que abatir el punto de vista tomando centro en el punto con la distancia desde ese punto hasta el punto de vista obteniendo el punto de vista abatido. El procedimiento es el que se utiliza en intersección: pasamos un plano por la recta y donde corte al plano dado tenemos una recta que cortará a la recta dada en un punto que es el de intersección. 



En la figura tenemos la proyección central o en perspectiva de la recta a perpendicular al plano g en el alzado del sistema diédrico. Se ha combinado el alzado con la perspectiva cónica para que se vea la relación que hay entre los elementos. Al mismo tiempo se ha representado la planta de todos los elementos en proyección ortogonal, esto es, el sistema diédrico. De esta manera se puede comprender perfectamente la orientación y disposición de cada uno de los elementos y su relación con la perspectiva cónica.
Dado el plano por su traza tg y su recta de fuga fg, se pide calcular una recta perpendicular al plano. Tenemos el punto de vista V y su distancia al plano del cuadro, esto es, la distancia del punto de vista al punto principal que viene definida por el radio del círculo de distancia V-(V). Hacemos desde el punto de vista V, o mejor su proyección en alzado ortogonal (esto es, el punto principal que en el dibujo aparece nombrado como V) una recta perpendicular a la recta de fuga del plano fg obteniendo de esta manera el punto N. Respecto al plano perpendicular al plano del cuadro que pasa por el punto de vista V hacemos el abatimiento tomando como traza la recta VN, de esta forma obtenemos el punto de vista abatido (V). Por este punto de vista abatido hacemos una recta perpendicular (V)-F’a hasta que corte a la prolongación del segmento NV en un punto que es la fuga de la recta, esto es F’a. 
Tenemos que todas las rectas que tienen este punto de fuga F’a, indistintamente de donde tengan sus trazas, son todas perpendiculares al plano g. Se dice que el punto de fuga se corresponde con la recta de fuga del plano en la antipolar respecto al círculo de distancia, esto quiere decir que la recta de fuga del plano es la antipolar respecto al punto de fuga de la recta F’a, o también que la antipolar es la simétrica de centro V de la polar respecto del punto de fuga F’a.
En el dibujo se puede observar el plano g y su proyección ortogonal en el alzado con su orientación y el plano paralelo x que se hizo por el punto de vista para obtener la recta de fuga fg del plano. Se puede observar también la recta a en proyección ortogonal sobre el plano del cuadro y su proyección o perspectiva a’ sobre el plano del cuadro definida por la traza Ta y fuga F’a.
Como ya se explicó en el dibujo del espacio si quisiéramos trabajar con elementos de la perspectiva respecto al plano azul dado, tendríamos que abatir el punto de vista, tomando como referencia este plano g, de esta manera tendríamos que coger y abatir el punto de vista ya abatido (V) y volverlo a abatir tomando como centro el punto N y la distancia N(V) obteniendo como centro de la perspectiva el punto V’.












Se trata de hacer una recta m perpendicular al plano azul y definir el punto de intersección P con el plano.
En el espacio tenemos el plano azul y una recta m que corta al mismo en el punto P. Por el punto de vista V hacemos una recta paralela hasta que corta al plano del cuadro en el punto límite de la misma L’m. La recta corta al PC en un punto de intersección que es la traza Tm. La perspectiva de la recta es el segmento que pasa por la traza Tm y el punto límite de la recta L’m. 
Todos los planos que pasan por la recta m son perpendiculares al plano azul, de esta forma trazamos un plano de color rojo por la recta m y calculamos la intersección de los dos planos, el rojo y el azul. Para que el plano rojo pase por la recta m la traza del plano ta debe pasar por la traza de la recta Tm y la recta límite l’a del plano debe pasar por el punto límite de la recta L’m, siendo como en todos los planos, su traza y su recta límite paralelas.
Por el punto de vista V trazamos un plano paralelo al de color rojo, en la línea de corte con el plano del cuadro tenemos la recta límite del plano l’a. Sabemos que la recta m es perpendicular al plano porque si hacemos por el punto principal, o proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro, una recta perpendicular a la recta límite del plano azul l’b, tenemos que esta recta pasa por el punto límite L’m de la recta m. Tenemos también en el espacio que la recta ZV es perpendicular a la recta V-L’m.
Para calcular la intersección de la recta m con el plano azul, pasamos un plano cualquiera por la recta, por ejemplo el plano de color rojo y determinamos la intersección s con el plano azul. La recta de intersección con el plano azul corta a la recta perpendicular al plano azul m en un punto P, y éste es el punto de intersección.
El plano de color rojo que pasamos por la recta m debe ser tal que la traza del mismo pase por la traza de la recta y la recta límite del mismo pase por el punto límite de la recta, de esta forma la contiene.
Para calcular la intersección de los dos planos, tomamos el punto de intersección de las trazas y lo unimos con el punto de intersección de las rectas límites, de esta forma tenemos la recta de intersección s de los dos planos y su perspectiva s’. Esta recta corta a la recta m en un punto P, cuya perspectiva P’ está alineada en el espacio con él y con el punto de vista, por lo que la proyección ortogonal de estos tres elementos también estarán alineados, esto es el punto principal (proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro), el punto de intersección de las dos rectas P y su perspectiva P’.


En este ejercicio observamos la resolución en sistema diédrico del anterior combinado con la proyección central o cónica del mismo. Un plano azul es definido por su traza y su recta límite, se trata de hacer una recta perpendicular al mismo y definir su intersección. Por el punto principal o proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro hacemos una recta perpendicular a la recta límite del plano, está lo corta en Z. Por el punto principal hacemos una recta perpendicular a ésta obteniendo en la intersección con la circunferencia o círculo de distancia el punto de vista abatido (V). Por el punto de vista abatido se hace una recta perpendicular a la recta Z-(V). Esta recta perpendicular corta a la recta ZP prolongada en el punto límite de todas las rectas que son perpendiculares al plano azul. La recta perpendicular al plano tiene por proyección perspectiva la recta m’ (que es la línea que definen la traza Tm y punto límite L’m) y por proyección ortogonal la recta m. Para determinar la proyección ortogonal real de la recta m unimos el punto principal P con el punto límite de la recta L’m obteniendo la dirección de la recta m que incide por la traza Tm.
Para calcular la intersección de la recta m con el plano azul b, trazamos un plano cualquiera a que contenga a la recta, esto es, que la recta límite del plano l’a pase por el punto límite de la recta L’m y que la traza del plano ta pase por la traza de la recta Tm.
La intersección de los dos planos será una recta s’ que pase por el punto de intersección de las dos rectas límites y por el punto de intersección de las dos trazas (si queremos determinar su proyección en alzado un ortogonal sobre el plano del cuadro uniremos el punto principal con el punto límite de la recta y por la traza haremos una recta paralela, de esta forma obtenemos su proyección en alzado s). 
La intersección de las dos rectas m s en proyección ortogonal, determina la proyección ortogonal del punto de intersección P de ambas. La perspectiva del punto de intersección de ambas P’ es al mismo tiempo la perspectiva del punto de intersección de la recta m con el plano azul b. Los puntos perspectivos P-P’ y el punto principal P (en color violeta centro de la circunferencia amarilla o círculo de distancia) están alineados y es la proyección en alzado de estos tres elementos. Se han colocado los elementos en planta para definir mejor su orientación, tenemos la recta m perpendicular al plano azul, la posición del punto de vista V, y la posición de la traza y punto límite de la recta.