Perspectiva lineal: Perspectiva de cuadro inclinado

Fundamento de la perspectiva de cuadro inclinado

En aquellas perspectivas en las que el punto de vista del observador está muy por encima del objeto, es necesario inclinar el plano del cuadro para poder tener una mejor imagen perspectiva del objeto.

De igual forma si estamos en una calle llena de edificios y los observamos desde abajo, para poder verlos necesitamos inclinar el plano del cuadro sobre el cual proyectamos sus imágenes. A efectos prácticos la diferencia con la perspectiva cónica usual que se viene utilizando, es que las líneas verticales tienen su punto de fuga sobre el plano del cuadro, con lo cual aparecen convergentes. En la perspectiva usual un cubo o prisma según estén en proyección central u oblicua pueden tener un punto de fuga o dos, en la perspectiva de cuadro inclinado, por efecto de las paralelas verticales que convergen tenemos que añadir otro punto de fuga más, con lo que en la perspectiva cónica oblicua de dos puntos de fuga añade un tercer punto de fuga.

Para obtener el punto de fuga de las verticales basta con hacer una línea paralela a ellas hasta que corte al plano del cuadro, en el punto de corte obtenemos la fuga hacia la cual van todas las líneas.
Otra diferencia respecto a la perspectiva cónica de uno o dos puntos de fuga, es que la línea del horizonte no incide sobre el punto principal, esto es consecuencia de que el plano del cuadro y el plano geometral no forman 90°.

Si tenemos en cuenta las consideraciones de la proyección central, partimos de la base de que el punto de fuga de las líneas verticales es el antipolo de la línea de horizonte del plano respecto al círculo de distancia.

En la perspectiva de cuadro inclinado, la figura aparece oblicua respecto plano del cuadro PC o plano del dibujo. Para construir un cubo, dibujamos un cuadrado ñ sobre el plano geometral PG y lo giramos hasta hacerlo coincidir con el plano K que nos va a determinar la inclinación de la figura. A continuación hacemos las alturas h correspondientes en las que vamos a colocar la figura. Los imaginarios rayos visuales m que pasan por el punto de vista V hasta cada uno de los puntos de la figura R interceptan en puntos R’ del plano del cuadro (plano del dibujo), que son la perspectiva de la figura. De esta forma el punto R del cubo unido con el punto de vista V determina en la intersección con el plano del cuadro PC el punto R’, que es la perspectiva del punto R de la figura, o lo que es lo mismo, la forma en la que se ve el cubo desde el punto de vista reflejado sobre el papel PC.

Aquí observamos la misma figura anterior pero desde otro punto de vista. Como podemos observar se ha dibujado el cuadrado sobre el plano del suelo o geometral PG y se ha girado hasta hacerlo incidir sobre el plano azul K, plano que forma cierto ángulo q respecto al plano del cuadro. Una vez que tenemos el cuadrado j sobre este plano azul colocamos las alturas a partir de cada uno de los vértices del cuadrado, esto es como si trasladamos el cuadrado a cierta altura y a partir de ahí dibujamos el cubo con sus aristas correspondientes.
Si alineamos el punto de vista V con los puntos de la figura W obtenemos en la intersección con el plano del cuadro PC la perspectiva de cada uno de los puntos de la figura W’.
Para ser más precisos en la construcción sabemos que si hacemos por el punto de vista V rectas paralelas a las aristas de la figura, en la intersección de estas rectas con el plano del cuadro obtenemos los puntos de fuga F de las rectas de la figura. Ello es debido a que la rectas paralelas se cortan en infinito y que por lo tanto la perspectiva del punto del final de una recta se obtiene uniendo el punto de vista V con el punto del final de la recta -esto es, haciendo una paralela a esa recta- que no es otro que el punto del infinito y su homólogo el punto de fuga F. Como podemos observar en el dibujo las rectas paralelas son concurrentes por ser oblicuas respecto al plano del cuadro, con lo que habiendo tres direcciones oblicuas en la figura respecto al plano del cuadro existen por tanto 3 puntos de fuga en los que concurren las aristas de la figura.

1º Método

Vamos a construir la perspectiva de cuadro inclinado de un cubo en posición oblicua respecto al plano del cuadro PC, que coincide éste con el plano del papel. Para ello partimos del cuadrado en la planta A1 B1 C1 D1, y dibujamos su proyección en el perfil A3, etc.
Este cuadrado lo vamos a girar un ángulo dado x, para ello giramos sus puntos con centro O de manera que se traslada al plano que es oblicuo respecto al plano del cuadro, formando con éste un ángulo q. Esta operación la podemos observar en el perfil del dibujo, A3 se transforma en (A3).
Proyectando los nuevos puntos de la figura girada sobre el plano del suelo o plano geometral obtenemos (A3’), los volvemos a proyectar sobre la planta de la figura en el plano azul obteniendo de esta manera el cuadrado de color gris A1’, etc. sobre el que vamos a colocar las alturas en las que va a descansar el cuadrado de la base del cubo.
Las alturas d las tenemos en verdadera magnitud en el perfil, a partir de cada uno de los puntos determinados por las alturas del perfil dibujamos las aristas del cubo en el perfil, también en verdadera magnitud y proyectamos los puntos a la planta, teniendo de esta forma la proyección en planta S1 y en el perfil S3 del cubo. Estas dos vistas son suficientes para determinar la perspectiva de la figura, ya que si alineamos cada uno de los puntos de la figura en la planta W1 y en el perfil W3 con la proyección del punto de vista en la planta V1 y en el perfil V3 respectivamente, tenemos en la intersección con el plano del cuadro PC las proyecciones de los puntos de la perspectiva. Por estos puntos respectivos en planta W1’ y en el perfil W3’ hacemos rectas verticales y horizontales, respectivamente, y en la intersección de ambas obtenemos la perspectiva W del punto buscado.
Esta operación se realiza con cada uno de los puntos de la figura y de esta manera tenemos la perspectiva del cubo que aparece en el alzado junto con la proyección ortogonal del alzado. Podemos observar también que si alineamos el punto principal P con cada uno de los vértices del cubo W2, obtenemos en la intersección con las rectas de fuga o bien con las rectas anteriores horizontal y vertical los puntos perspectivos de la figura W’.

2º Método

Podemos calcular la perspectiva del cuadro inclinado por el método de los puntos métricos o de medida. Si prolongamos la arista del cubo hasta que corte al plano del cuadro en cualquiera de las vistas, sea la planta o el perfil, obtenemos la traza de la recta Ta3. Esta traza la proyectamos a la perspectiva de la pieza mediante una recta horizontal h, y en la intersección con la recta s, que es una arista que corresponde al cubo en proyección ortogonal en el alzado, determinamos la traza de la recta en el alzado Ta. Sabemos que por Ta pasa la traza del plano que contiene a esa recta y a la cara verde del cubo. Sabemos también que la traza de ese plano tg que contiene la cara del cubo es paralela a la recta límite del plano l’g, que está determinado por los dos puntos fuga de ese plano.
Si abatimos el punto de vista en el alzado obteniendo de esta forma el punto (V) y hacemos centro en el punto de fuga inferior tomando como arco la distancia que este punto de fuga al punto de vista abatido (V) corta en la recta límite l’g en M.
Cualquier segmento sobre la traza del plano cuyos extremos estén alineados con M corta a las aristas verticales de ese plano de la pieza determinando su verdadera dimensión. De esta manera se obtienen las medidas reales de los segmentos verticales.

En la figura vemos con más detalle el ejercicio anterior. Sobre el punto principal P, que es la proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro, pasamos el plano que lo contiene junto con la recta de fuga correspondiente a la cara del cubo verde y obtenemos en su abatimiento el punto de vista abatido V.
Haciendo centro en el punto de fuga inferior F y tomando como radio la distancia desde este punto de fuga hasta el punto de vista abatido V hacemos un arco hasta que corta a la recta límite o de horizonte del plano verde del cubo lg’, esto es, la que pasa por los dos puntos de fuga de la derecha. Este arco corta a esta recta límite l’g en el punto de medida M, que alineado con un punto de la traza del plano Y’ definimos sobre la recta vertical el comienzo Y del segmento del cubo. A partir de este punto Y definimos la longitud real de la arista del cubo con el punto del final o vértice extremo del segmento S’. Alineamos S’ con el punto métrico M y obtenemos en la intersección con la recta vertical del cubo la perspectiva S de este punto. La perspectiva del segmento YS tiene en la realidad la longitud Y’S’que aparece sobre la traza del plano tg.
De esta manera se obtienen las longitudes de los segmentos verticales, para obtener las longitudes de los dos segmentos horizontales correspondientes a las dos direcciones de la base del cubo se procede como en la perspectiva cónica usual.

3º Método

Podemos obtener la perspectiva de cuadro inclinado por otro método, cada punto lo podemos obtener como intersección de las rectas perpendiculares al plano del cuadro con las rectas que definen los rayos visuales.
En el dibujo representamos la figura en la planta y en el perfil, junto con el plano del cuadro PC, la figura aparece en posición oblicua respecto a éste y se muestra también el punto de vista en la planta V1 y en el perfil V3.
Hacemos una recta perpendicular a al plano del cuadro, recta que queda definida en la planta y en el perfil por sus proyecciones a1, a3. La recta tiene su traza Ta en ambas proyecciones respectivamente en los puntos Ta1, Ta3, (la traza es donde la recta cortada al plano del cuadro).
Haciendo por el punto de vista V1 una recta paralela a ella, tenemos su punto de fuga que coincide con el punto principal P1, definido en las proyecciones en planta y perfil por los puntos P1, P3.
Si tenemos la traza Ta y el punto de fuga de la recta P tenemos ya la perspectiva de la misma en el alzado Ta-P, (en esta proyección en alzado se representa el cubo en alzado en posición oblicua y ortogonal al plano del cuadro y en el centro aparece la perspectiva más pequeña del mismo).
Observamos la perspectiva de la recta definida por su traza TA y el punto principal P. La traza en proyección ortogonal al plano del cuadro, esto es en el alzado, por ser una recta de punta tiene por proyección un punto coincidente con la traza de la misma.
Para obtener la perspectiva de un vértice cualquiera del cubo, X’ p. ej., basta con hacer una recta que une ese punto X3 con el punto de vista V3 en cualquiera de las dos proyecciones, sea la planta o el perfil. En la intersección de esta recta que une el vértice de la figura con el punto de vista con el plano del cuadro, tenemos la perspectiva del punto en el perfil X’3. Si por este punto hacemos una recta horizontal h corta a la perspectiva de la recta de punta u ortogonal al cuatro en el punto X’, este punto es la perspectiva del vértice de la figura.
Hemos obtenido un punto de la figura cuya perspectiva aparecerá con todas las líneas o aristas oblicuas respecto al plano del cuadro, esto quiere decir que las verticales del cubo concurren en un mismo punto de fuga, al igual que las direcciones horizontales del mismo.
En esta perspectiva no se tiene en consideración los puntos de fuga de la figura, sólo el punto de fuga de la recta de punta original a.
Para tener la perspectiva de los demás puntos de la figura se procede igual forma, se hacen rectas a de punta que pasen por los vértices de la figura dibujando la perspectiva de las mismas Ta-P y a continuación se calcula la intersección con las rectas horizontales h que inciden en los puntos perspectivos X’3 de la figura en el perfil.

4º Método

Como ya sabemos, uniendo los puntos de una figura con el punto de vista, obtenemos en la intersección con el plano del cuadro la perspectiva de esos puntos de la figura. Esas líneas que contienen al punto de vista, a los puntos de la figura y a los puntos de su perspectiva, son los imaginarios rayos visuales que determinan la perspectiva de la figura sobre el plano del cuadro. Vamos a prescindir de esos rayos visuales para hacer una perspectiva. La forma de conseguir ahora la perspectiva del objeto es representar el conjunto de todas las líneas que definen la figura, pero sin considerar las rectas que van de los puntos de la figura al punto de vista.
Dibujamos las proyecciones del cubo igual que en los casos anteriores, pero prolongamos las aristas de la pieza hasta que cortan en el plano del cuadro. De esta forma, por ejemplo la recta a, corta al plano del cuadro en Ta1 en la proyección en planta. Haciendo por el punto de vista V1 una recta paralela a ella, tenemos en la intersección con el plano del cuadro su punto de fuga Fa1. Esta operación que hicimos en la planta la podemos repetir en el perfil, la recta a corta al plano del cuadro PC en su traza Ta3, y haciendo una paralela por el punto de vista V3 obtenemos en la intersección de esta paralela con el plano de cuadro su punto de fuga FA3.
Si la traza Ta1 y punto de fuga FA1 de la recta en planta la proyectamos ortogonalmente al plano del cuadro al alzado, y en el perfil hacemos lo mismo, esto es, la traza Ta3 y punto de fuga Fa3 de la recta la proyectamos perpendicularmente en el alzado respecto al plano del cuadro del perfil obtenemos respectivamente en la intersección de ambas rectas, la traza de la recta Ta y el punto de fuga de la recta Fa. Si tenemos estos dos puntos tenemos la perspectiva de la recta a, que es la recta a’.
Operamos de igual forma con la recta b, por el punto de vista V1 hacemos una paralela a la recta en la planta y en el perfil hasta que corta en el plano del cuadro a su punto de fuga Fb1 Fb3.
Prolongamos la recta b en la planta y en el perfil hasta que corta respectivamente en el plano del cuadro en los puntos Tb1 Tb3, que son las trazas de la misma en la planta y en el perfil.
Haciendo verticales en la traza y fuga de la recta desde la planta y haciendo horizontales en la traza y fuga de la recta desde el perfil obtenemos en la intersección de ambas, respectivamente la traza Tb y fuga Fb de la recta b, que determinan la perspectiva b’ de la misma.
Las dos aristas a b de la figura se cortan en un punto S, por lo tanto la perspectiva de estas dos aristas a’ b’ determinan el punto de intersección S’ de ambas.

5º método

Podemos hacer un prisma y abatir la base del mismo como se ve en el perfil de la figura. Si hacemos una línea diagonal que pasa por los vértices opuestos de la base corta a la línea de tierra en un punto que unido con la línea que corta su paralela por el punto de vista abatido (V’), tenemos la representación de esa línea en perspectiva.
Por el punto de vista en el perfil hacemos las paralelas a la figura obteniendo de esta forma la altura a la que están los puntos de fuga.
En este procedimiento se opera igual que en la cónica usual, la única diferencia es que las verticales fugan hacia un punto.
Para obtener la dimensión en perspectiva de los segmentos verticales basta con alinear en el perfil los mismos con el punto de vista y proyectar los puntos de corte de estas líneas con el plano del cuadro mediante líneas horizontales hasta que corten a las líneas que van al punto de fuga inferior en la perspectiva.
Como la figura tiene cuatro aristas paralelas al plano del cuadro, el ejercicio se podría resolver como lo que es realmente, una perspectiva de los puntos de fuga.

En la figura observamos un cono cuyo eje está inclinado respecto al plano del cuadro. Se construye la perspectiva del cuadrado de la base que inscribe a la base del cono y en la intersección de las dos diagonales hacemos una recta que pasa por ese punto y por el punto de fuga inferior obtenido a partir del perfil de la figura. La línea que pasa por estos 2 puntos es el eje de revolución cuya altura queda determinada también en el perfil por la intersección del plano del cuadro con las 2 líneas una la que une el vértice del cono y el punto de vista y otra la que une la proyección ortogonal sobre el suelo del vértice del cono y el punto de vista
Otra forma de obtener el vértice del cono es alinear el punto principal P en el alzado, en la perspectiva, con la proyección del cono ortogonal sobre el alzado: la intersección de esta línea con el eje de revolución del cono determina la perspectiva del vértice del cono.

En estos ejercicios en los que aparece un cubo y un prisma seguimos el mismo procedimiento por abatimiento. Como observamos en el perfil el punto de vista está abatido tomando como eje de giro la línea de horizonte que se obtiene haciendo un plano paralelo a la base de la figura. Tomamos la línea de horizonte como eje de giro y abatimos el punto de vista en un sentido, el mismo en el que abatimos la base de la figura pero ésta respecto a la línea de tierra. En el prisma las líneas verticales concurren hacia el punto de fuga inferior, mientras que en el cubo concurren hacia un punto de fuga superior.