La perspectiva cónica dentro de la geometría proyectiva

2 rectas son homólogas BC y B'C' cuando se cortan en una recta G llamada eje y tienen todos sus puntos alineados OBB' OCC' sobre rectas que inciden en un punto O llamado centro de homología. Las homología se puede percibir en la realidad en cualquier objeto y sus sombras: la sombra que arroja sobre una superficie y la línea que separa la luz de la sombra del objeto son formas homólogas pues cada punto de sombra arrojada A’ tiene el correspondiente en el objeto A, por tanto OAA’ están siempre alineados. Si cogemos un par de puntos de la sombra A’B’ y hacemos una recta que pasa por ellos se cortan en el mismo punto P que sus homólogos de la sombra del cuerpo AB, esto es, las rectas homólogas se cortan en otra llamada eje que es la intersección del plano de sombra propia del objeto que pasa por AB y del plano de sombra arrojada A’B’V’. Otro ejemplo de homología es laperspectiva de un objeto que dibujamos sobre un papel o cristal: El cuadrado magenta se “ve” desde O como el cuadrilátero azul, quiere decir que son perspectivos y esto es una homología ya que si prolongamos la recta A’B’ y su homóloga AB, ambas se cortan en P que es un punto del eje o el equivalente a la línea de tierra en la perspectiva cónica. La otra propiedad de la homología también se cumple: los puntos homólogos AA’ (o perspectivos) están alineados con O. Si los cuadriláteros son perspectivos desde un centro O, también lo son desde un eje (esto quiere decir que las rectas homólogas se cortan en el eje) y recíprocamente si lo son desde un eje también lo son desde el centro O. Si esta homología la aplicamos a un triángulo tenemos un teorema esencial de la geometría proyectiva de los triángulos perspectivos (el teorema de Desargues): “Si 2 triángulos son perspectivos desde un eje también lo son desde el centro, la recíproca es cierta, si lo son desde el centro también desde el eje”. Si establecemos una nueva homología en la que el nuevo centro está en el infinito y el cuadrado magenta se transforma en el amarillo mediante proyección de sus puntos por líneas paralelas B’(B’), tenemos un caso particular de la homología llamado afinidad en la que se conserva el paralelismo. Un cuadrado se transforma en otro mediante un giro (abatimiento del plano) y como todos los puntos del cuadrado magenta se pueden transformar en los de otro amarillo mediante paralelas tenemos que el abatimiento es una afinidad, ya que persisten las propiedades de la homología: las rectas homólogas se cortan en el eje y los puntos homólogos afines B’(B’), están alineados con el centro que está en el infinito en la dirección B’(B’). El teorema de Desargues en el espacio: si una pirámide de vértice O es seccionada por 2 planos generando como secciones 2 triángulos a a’, al prolongar los lados respectivos de los triángulos se cortan en tres puntos P Q R de la intersección de los 2 planos (el eje), por lo que éstos están alineados. Recíprocamente, el hecho de que los dos triángulos tengan como intersección P Q R en la prolongación de sus lados respectivos, significa que son secciones de una pirámide de vértice O. En el espacio, como en el plano: si 2 triángulos no coplanares son perspectivos desde un centro O, lo son desde un eje y recíprocamente si los son desde un eje lo son desde el centro O. La demostración es sencilla: cada plano que contiene a cada par de lados homólogos corta al eje en un punto, por lo que los tres son colineales. Si dos rectas, AB, A'B', son homólogas se cortan en un punto P de una recta llamada eje y todos los puntos homólogos (por ejemplo AA') están alineados con otro, O, llamado centro de proyección. En una homología plana dos figuras son homólogas cuando se corresponden de manera que los puntos homólogos están alineados con otro llamado centro y las rectas homólogas se cortan en una recta llamada eje. Todos los puntos del eje son homólogos de sí mismos por lo que se dice que son dobles y todas las rectas que pasan por el centro de proyección también. Una homología puede quedar determinada: 1- Por el centro de proyección, por una recta límite y el eje. 2- Por dos puntos homólogos de otros dos y la dirección del eje. 3- Por dos puntos homólogos, el eje y el centro de proyección. 4- Por dos puntos homólogos, el eje y la recta límite. 1 En este primer caso, nos dan el centro O, la recta límite y el eje. Hacemos un punto cualquiera A del que vamos a obtener su homólogo, por A hacemos una recta cualquiera s hasta que corte a la recta límite en un punto que unimos con el centro de proyección O, obteniendo de esta forma la recta p. Donde la recta s corta al eje hacemos una recta t paralela a la recta anterior p. Hacemos una recta que pasa por el centro de proyección O y por A y en la prolongación obtenemos en la intersección con la recta t el homólogo del punto A que es el punto A’. 2 Nos dan un par de puntos homólogos, la dirección del eje o de cualquier recta límite y el centro de proyección O. Hacemos la recta que une los puntos AB y la recta que une los puntos A’B’. Como las rectas homólogas se cortan en el eje, por el punto de intersección de las dos rectas hechas pasa el eje. Hacemos por el centro de proyección O una recta paralela a la que definen los puntos AB y en la intersección de la prolongación de la recta que definen los puntos A’B’ tenemos el punto por donde pasa la recta límite según la dirección dada. Para calcular la otra recta límite se opera de igual forma. 3 Nos dan un par de puntos homólogos, el centro de proyección y el eje. Para calcular la recta límite hacemos una recta cualquiera d que pase por A. Ésta recta corta al eje en un punto que unimos con su homólogo A’, obteniendo de esta forma la recta f, a la que hacemos una paralela por el centro de proyección O obteniendo la recta v. La intersección de las dos rectas dv determina un punto por donde pasa la recta límite que es siempre paralela al eje. Todos los puntos de la recta d tienen sus homólogos sobre la recta f, de manera que las rectas que alinean cada par de puntos homólogos de ambas rectas son una radiación, esto es, un conjunto de rectas que pasan por el centro de proyección O. 4 Nos dan dos puntos homólogos AA’, la recta límite y el eje. Hacemos una recta cualquiera que pase por uno de los puntos homólogos A, por ejemplo la recta k. Por el punto de intersección de la recta k con el eje hacemos una recta t que pase por el homólogo A’. Por el punto de intersección de la recta k con la recta límite, hacemos una recta s paralela a la recta t. En la intersección de la recta s con la recta AA’ obtenemos el centro de proyección O de la homología. 2 4 1 3 Para calcular la homóloga de una figura 1-2-3-4-5, dado el eje, el centro proyectivo, y un punto homólogo de la figura, el 3' por ejemplo, se pasa una línea por dos puntos de la figura: 3-1 hasta que la prolongación corte al eje. En el punto de corte con el eje se une con el 3' y donde corte a la  prolongación de la recta C-1, encontraremos el punto 1'. Los demás puntos se calculan análogamente: 4 con 1 determina una recta que corta al eje por donde se pasa otra recta que pasa por 1' y que se interseca con C-1 en 4', etc.

Si nos dan dos puntos homólogos AA’, el centro O y el eje e, nos pueden pedir calcular el homólogo de otro punto dado, por ejemplo B.
Se alinea A con B y donde corte en el eje e, -en el punto P- se une con A’ y prolonga hasta que corte en B’ a la recta BO.
Se cumple así que los puntos homólogos están alineados con el centro O y que las rectas homólogas se cortan en puntos del eje.

Los homólogos no tienen por qué quedar del mismo lado del centro O.
Si nos dan dos puntos homólogos AA’, el centro O y el eje e, nos pueden pedir calcular el homólogo de otro punto dado, por ejemplo B.
Se alinea A con B y donde corte en el eje e, se une con A’ y prolonga hasta que corte en B’ a la recta BO.

Rectas límites

LÍMITES Una recta límite es la homóloga del infinito, la imagen que corresponde a la que está final de un plano. Un ejemplo lo tenemos en la línea del horizonte del mar que es la perspectiva de la línea del final del plano del mar, despreciando la curvatura del planeta que baja la línea de horizonte y la curva respecto a la línea límite u horizonte utilizada en geometría. Como hay dos planos, cada uno tiene su recta límite, la que corresponde al final del otro plano, en el dibujo son las dos rectas violetas, siempre paralelas al eje. Para calcular las rectas límites de dos rectas homólogas a, a’ situadas en dos planos que se cortan en el eje e y con un centro de proyección O, se pasa por éste una recta n paralela a a', ésta corta al plano que contiene a la recta a en L. L es el punto límite de la recta a, u homólogo del que está en el infinito de a'. Si por el punto límite L se traza una recta paralela l al eje se tiene la recta límite del plano, que es la homóloga de la recta del infinito del plano. De ello se desprende que el plano Z es siempre paralelo a Z'. Para obtener la recta límite del otro plano se procede de igual forma. El triángulo ABC tiene un punto (el A) en la recta límite, por lo que OA define la dirección de las rectas paralelas m’ n’ con el punto común de ambas en el infinito. Para determinar la homóloga de una recta m (definida por AC), se une O con el punto límite de la recta, A. La línea OA es la dirección de m’ y ésta tiene su punto doble sobre el eje, por lo que donde corta al eje (en C) hacemos una paralela a OA y esa es la homóloga m’ de m. El triángulo rojo BCM está atravesado por una recta límite que lo corta en 2 puntos, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito, el triángulo homólogo B’C’M’ acotado por las tres rectas que lo definen tendrá por tanto 2 puntos en el infinito por lo que es el que aparece en color amarillo sobre el dibujo. Si un triángulo ABC se corta en el eje, su homólogo A’B’C’ también se cortará en el eje en las recta s homólogas. Si 1 punto B queda separado del eje por los otros 2 puntos AC y su homólogo tiene los 3 puntos A’B’C’ del mismo lado del eje, su transformado ABC no está acotado, esto es, tiene elementos en el infinito. Dado el triángulo A’B’C’ obtener su homólogo conociendo el homólogo de A’, A, el eje y el centro O. Como el eje es el lugar geométrico de los puntos dobles (homólogos de sí mismos), el hecho de que A’B’C’ no corte al eje y ABC sí significa que el triángulo homólogo de A’B’C’ tiene 2 puntos en el infinito, esto es, el triángulo ABC es el señalado en verde, de B hacia el infinito y de éste a AC. Dos triángulos homólogos que se cortan en el eje, los puntos de contacto de un triángulo con el eje tiene por homólogos a los mismos puntos, se dice que son homólogos de sí mismos (puntos dobles), con lo que el triángulo homólogo pasa por esos dos puntos. Como vemos en el dibujo sí una recta del triángulo se cortan el eje, la otra recta homóloga del otro triángulo también se corta en el mismo punto del eje. Si por el centro de proyección hacemos paralelas a esas dos rectas, en la intersección de cada recta con la otra recta no paralela tenemos un punto por el que pasa la recta límite siempre paralela al eje. En este ejemplo práctico se ven dos rectas homólogas y las dos rectas paralelas a ellas por el centro de proyección O que determinan un paralelogramo en cuyos vértices opuestos pasan las rectas límites y por los otros vértices opuestos pasan el centro y el eje. Como es un paralelogramo en el que las rectas límites están en los vértices opuestos se desprende de ello que la distancia del centro a una recta límite es igual a la distancia del eje a la otra recta límite.

Se trata de transformar un triángulo cualquiera (en el dibujo en color azul) en un triángulo equilátero (en el dibujo en color violeta). Para construirlo prolongamos los lados del triángulo azul hasta que corte a dos rectas paralelas cualesquiera que vamos a considerar como eje y recta límite, para mayor facilidad en la construcción hemos pasado una de estas rectas por un vértice del triángulo S.
Mediante la prolongación de los lados del triángulo azul tenemos tres líneas que cortan a la recta límite en los tres puntos HGF. Tomamos los puntos HG y hacemos el arco capaz de 60° (ya que un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60° pues 180° dividido entre tres es igual a este ángulo) y hacemos lo mismo también con los otros dos puntos GF. Tenemos dos circunferencias en cuya intersección está el centro de proyección de la homología N, uniendo este centro con los tres puntos HGF tenemos las direcciones de los lados del nuevo triángulo equilátero. Al prolongar los lados del triángulo azul obtenemos el punto S y el punto I en la intersección con el eje. Por el primero hacemos dos rectas paralelas a las direcciones NG NF y por el segundo I hacemos una recta paralela a la dirección NH, estas tres líneas paralelas defienden el triángulo violeta equilátero, homólogo del triángulo azul dado.


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HOMOLOGÍA- TRANSFORMA TRIÁNGULO EN EQUILÁTERO

Otro ejemplo donde se ven dos rectas homólogas que se cortan en el eje y las rectas límites equidistantes respectivamente del eje y centro de proyección.

Si un triángulo tiene un vértice sobre el eje implica que su homólogo también tendrá otro vértice sobre el mismo punto. La recta CA del triángulo se corta con la recta límite en el punto P’, la recta BC se corta en el punto P. El ángulo que forman las líneas OP OP’, es el ángulo real que forman los lados del triángulo.

Dos triángulos homólogos con sus rectas límites.

Dos puntos homólogos A A’ están alineados con el centro de proyección O y pertenecen a rectas homólogas r r ‘que se cortan en el eje. Haciendo por el centro de proyección O dos rectas paralelas a las rectas homólogas r r’, obtenemos en la intersección con sus prolongaciones dos puntos j’ K.
Por ambos puntos pasan las rectas límites paralelas al eje.

Dos rectas homólogas AB y A’B’ están dispuestas siempre de tal forma que los puntos límites de ambas están sobre un paralelogramo vértices opuestos, en el que los otros vértices opuestos son el centro de proyección O y el punto de intersección de las rectas homólogas o punto doble.

Afinidad

AFINIDAD Afinidad: Una figura se transforma en otra mediante paralelas. Una superficie cilíndrica seccionada por dos planos cualesquiera genera dos formas afines: http://sistema-diedrico.blogspot.com/2010/11/curvas-y-superficies.html Si un cilindro atraviesa dos planos, las dos secciones que genera son afines por tener los puntos homólogos alineados con el centro de proyección en el infinito, que es el vértice del cilindro de generatrices paralelas. Como es una homología las rectas homólogas se siguen cortando en el eje. Para calcular la figura homóloga afín de otra, en este caso un pentágono irregular ABCDE y un punto afín E’, se prolonga una de las rectas DE hasta que corta al eje según el punto Q. El homólogo del punto E es un punto dado E’, por lo tanto la recta homóloga pasa por el punto Q y por E’ y el punto D’ se obtiene como intersección de la prolongación de la recta QE’ y la dirección de afinidad. Para obtener los demás puntos se procede de igual forma, hacemos otra recta que pasa por los puntos AE y la prolongamos hasta que corta en el eje en el punto P. Este punto doble lo unimos con el ya obtenido E’, obteniendo de esta forma el punto A’ en la intersección de la recta PE’ con la dirección de afinidad d incidente en el punto A. Dado un triángulo ABC, el homólogo afín C’ y la dirección de afinidad d, se trata de obtener el afín del triángulo. Se prolonga la recta AC hasta que corta del eje en un punto que lo unimos con C’, en su prolongación tenemos que corta a la dirección de afinidad en el punto A. Los demás puntos los obtenemos de igual forma teniendo en cuenta que las rectas afines se cortan en el eje todos los puntos afines están alineados en la misma dirección. Dos cuadriláteros afines con sus puntos alineados en la dirección de afinidad y sus rectas homólogas afines que se cortan en puntos del eje. La afinidad entre dos triángulos es un caso particular del teorema de Desargues. Si dos triángulos son axialmente perspectivos también lo son centralmente. Las rectas dobles que pasan por el centro de proyección, por estar éste en el infinito, son paralelas y ésta es la dirección de afinidad. Los rayos de sol por su lejanía se consideran paralelos por lo que la sombra de una forma plana sobre el suelo u otro plano son formas afines:

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Un objeto plano reflejado en el espejo y su imagen son formas afines ya que se puede transformar uno en el otro mediante líneas paralelas y al prolongar los lados de las figuras se cortan en la intersección de los planos imaginarios que las contienen (el eje de afinidad):

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Homotecia

Homotecia: puntos homólogos alineados y lados de la figura homólogos paralelos. La homotecia sirve para cambiar la escala de una figura: el azul es 3/1 mayor que el rosa o el rosa 1/3 del azul. Dos triángulos relacionados en una homotecia inversa por estar el centro de proyección O entre sus puntos homólogos. En una homotecia los lados de las figuras homólogas siempre son paralelos y la figura resultante de aplicar la homotecia es proporcional a la primera. Si no hay cambio de escala entre las dos figuras en una homotecia inversa, por ser su razón igual a uno, la homotecia es una simetría central. Dos triángulos relacionados en una homotecia. Por ser un caso de la homología en la cual la recta eje está en el infinito, los lados homólogos son paralelos. De esta forma si nos dan un triángulo ABC y un punto homotético A’, al que se le debe aplicar una homotecia desde el centro O, hacemos las rectas que pasan por O y por los vértices del triángulo, por uno de los puntos dados A’, se traza una paralela a la recta AC hasta que corte a la recta OC en el punto C’. Por C’ se traza una paralela a la recta CB hasta que corta a la prolongación de OB en el punto B’, que unido al punto A’ define el triángulo de lados paralelos al dado. La homotecia sirve para cambiar la escala de una figura por lo que ésta se mantiene invariable en su forma variando usualmente su tamaño. En la homotecia observamos otro caso particular del teorema de Desargues, los vértices de los triángulos están alineados un centro de proyección y las rectas homólogas se cortan el eje. Éste caso especial sirve para verificar el teorema, si cada par de rectas homólogas o lados del triángulo se cortan en un punto del infinito por ser paralelas, los tres lados se cortan con sus homólogos afines en tres puntos del infinito que no pueden estar en otro lado que en la recta del infinito, ya que todo plano contiene una única recta en el infinito, por lo tanto están alineados. En una homotecia en el espacio, las figuras homotéticas están cada una sobre un plano distinto y estos planos son paralelos entre sí, de esta forma ambos planos se cortan en el infinito por ser paralelos, por eso decimos que el eje de la homología o recta de intersección de ambos planos está en el infinito. El triángulo rojo se transforma en el amarillo desde un centro de homotecia O, con la única condición de que los planos que contienen a ambas figuras sean paralelos, de esta manera lo que se produce es un cambio de escala en la que ambas figuras mantienen de forma invariable el paralelismo, esto quiere decir que los segmentos homotéticos AB y A'B' son paralelos, así como los demás lados de ambos triángulos. http://proporcion-escala-semejanza-homotecia.blogspot.com/

Homotecia afín

Homotecia afín: una figura se traslada resultando invariante su forma. Resulta en consecuencia una figura igual, idéntica a la primera. Cuando en una homología se da una homotecia y al mismo tiempo una afinidad resulta una homotecia afín. En la homotecia el eje está en el infinito, en la afinidad está el centro del infinito, en la homotecia afín están el centro y el eje en el infinito. De esta manera, como los puntos homólogos relacionados en una homotecia afín están alineados con un centro de proyección en el infinito y sus lados homólogos también están alineados con un punto del infinito del eje de la homotecia afín impropia, las figuras relacionadas son idénticas. De la dirección de afinidad resulta que una figura se transforma en otra mediante una traslación, en una identidad en la forma y tamaño de las figuras.

Teoremas

http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teorema-de-desargues.html DESARGUES- TRIÁNGULOS PERSPECTIVOS 2.. Teorema de Desargues: “Si 2 triángulos son perspectivos axialmente (desde el eje MNP) también lo son centralmente (desde el centro O), la recíproca es cierta, si lo son desde el centro también desde el eje”. Si 3 triángulos son perspectivos (tienen sus vértices alineados desde un centro 2 a 2) y bajo un mismo eje (intersección de plano verde y amarillo), los centros O1 O2 O3 de las tres perspectividades están alineados. De igual forma en el plano, Si 3 triángulos (ABC, A'B'C', A''B''C''), son perspectivos (tienen sus vértices alineados desde un centro 2 a 2) y bajo un mismo eje MNP (intersección de la prolongación de sus lados respectivos), los centros O1 O2 O3 de las tres perspectividades están alineados. DESARGUES- 3 CENTROS COLINEALES Un cuadrilátero se transforma en cuadrado por homología: cada par de lados se cortan en dos puntos límites de la recta límite. Las diagonales del cuadrado se cortan en otro par de puntos límites de la recta límite. Por los puntos límites de las diagonales hacemos una semicircunferencia tomando ese segmento como diámetro. Hacemos lo mismo con los puntos límites de los lados que se cortan en la recta límite. La intersección de los dos arcos de circunferencia nos define el centro de proyección, que unido a los puntos límites nos determina la dirección de los lados del cuadrado. Una aplicación de este ejercicio la tenemos en el siguiente problema: Dada una foto o dibujo de una perspectiva, determinar la verdadera forma de las figuras: solución en: http://la-restitucion-en-perspectiva.blogspot.com/ Teorema de Steiner Si 2 triángulos (verde y marrón) son perspectivos espacialmente desde O y se abate el plano de uno de ellos (el verde) respecto al eje e hasta hacerlo coincidir en el mismo plano de su homólogo marrón se tiene que estos 2 triángulos coplanares son perspectivos desde un centro del plano (O). Si además por el centro O hacemos una recta paralela al plano alfa hasta que corte al plano que contiene al triángulo marrón y hacemos un arco con centro en P y ortogonal a alfa se tiene que corta al plano en (O), esto es, el centro abatido O es coincidente con el centro (O) de la homología plana. El triángulo verde y marrón están relacionados en una homología espacial, si abatimos el plano alfa que contiene al triángulo verde obtendremos una nueva homología plana en la que los triángulos que se relacionan son el marrón y el gris (verde abatido). Estos dos triángulos tienen por centro de homología un punto (O) que se puede obtener al abatir el centro de la primera homología espacial considerando un plano que contenga al centro de proyección y que sea paralelo al que contiene al triángulo verde, tomando como charnela o eje de giro una paralela a la traza de alfa por P.

TEOREMA DE STEINER

Construcción de cónicas por homología

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La homóloga de una circunferencia tangente a la recta límite es una parábola ya que ésta tiene un punto sobre la recta límite y la homóloga de la circunferencia es una cónica con un punto en el infinito.
Para trazarla se pasa por O, centro de proyección una recta b hasta el punto de contacto de la circunferencia con la recta límite, ya que en esa dirección está el punto del infinito de la parábola, esto es, la línea paralela al eje de simetría. Si el eje sigue la dirección de O al punto límite, por una perpendicular a esta recta pasará la dirección de la directriz.
Se hace por tanto la perpendicular c a la recta b por el punto O y donde corta a la recta límite se hace una recta tangente d a la circunferencia para obtener el homólogo del vértice de la parábola. Donde ésta recta d corta en el eje hacemos una paralela d’ a c. Ésta línea es paralela a la directriz de la parábola y pasa por el vértice T’ y es tangente a la curva en ese punto, por serlo T a la circunferencia.
El punto de corte de bO con la recta límite lo unimos con el punto de tangencia T de d y esta es la homóloga del eje e’.
El homólogo de T es el vértice de la parábola y se obtiene como intersección de OT con la recta paralela e’ a la recta b, y pasa por el punto de intersección de e con el eje.
Los demás puntos de la homología se deducen como en cualquier otra homología.

HOMÓLOGA CASO PARÁBOLA Para construir la homóloga de una circunferencia que es tangente a la recta límite, unimos el centro del homología con este punto B de tangencia y hacemos una recta perpendicular a ésta última (centro-D). Desde la intersección D de la última recta con la recta límite hacemos una recta tangente1 (en color verde claro) a la circunferencia y unimos el punto de intersección B de la circunferencia y la recta límite con el último punto de tangencia F. De esta forma obtenemos las dos direcciones principales de la parábola, por un lado el eje de simetría de la curva cuya dirección es la que corresponde al centro y al punto de tangencia de la circunferencia con la recta límite B, y por otro lado la perpendicular a esta recta que define la dirección del centro y la perpendicular a la recta del centro-B (recta centro-D). El vértice de la parábola es en realidad el homólogo del F. Para calcular los homólogos de todos los demás puntos de la circunferencia procedemos como en cualquier homología, por ejemplo dibujamos una recta que pase por el centro de homología centro-K, y una recta secante a la circunferencia KJ que corta al eje en el punto L, por L hacemos una recta paralela a la dirección centro-K y a continuación hacemos la recta que pasa por el centro de homología y por J, la intersección de estar recta y la paralela anterior que pasa por el punto L definen el punto M de la curva parabólica. De igual forma procedemos con las demás rectas secantes a la circunferencia. El caso hiperbólico: la circunferencia corta a la recta límite en dos puntos por lo que su homóloga es la hipérbola. Por O, centro de proyección se trazan 2 rectas OF OP que pasan por los puntos de intersección de la circunferencia con la recta límite, esa va a ser la dirección de las asíntotas ya que éstas son tangentes a la hipérbola en el infinito y los puntos límites F P son los homólogos de los 2 puntos del infinito de la hipérbola. Por F P se hacen las tangentes a la circunferencia que se cortan en C y su prolongación hasta el eje VM define las dos asíntotas n m que se cortan en un punto Z, centro de la hipérbola. Si alineamos O con C tenemos que la recta incide en Z ya que ésta define el eje de la hipérbola, pues la intersección de las asíntotas es el centro de la hipérbola Z y C el homólogo del centro y por simetría el eje es la bisectriz de las dos asíntotas. El eje de simetría de la hipérbola corta al eje de la homología en un punto que unido con C intercepta a la circunferencia en X Y, puntos homólogos de los vértices de la hipérbola ya que si éste es el homólogo del eje de simetría por cortarse en el eje de homología y pasar por el homólogo C de Z, si intercepta a la circunferencia en dos puntos sólo pueden ser homólogos de los vértices pues pasan por la recta homóloga del eje de simetría de la hipérbola. La intersección de OX con el eje aporta X’, vértice de la hipérbola, de igual forma la alineación OY detecta Y’. Los demás puntos de la homología se deducen como en cualquier otra homología. HOMÓLOGA CASO HIPÉRBOLA Para construir el caso de la homóloga de una circunferencia secante a la recta límite, unimos el Centro con los puntos de intersección de la circunferencia con la recta límite CB obteniendo de esta manera la dirección de las dos rectas asíntotas. Construimos las dos rectas tangentes por estos puntos límites CB, en la intersección del eje con estas rectas construimos las dos rectas rojas asíntotas a partir de estos puntos, siempre paralelas a las direcciones del centro-C y del centro-B. Si alineamos el centro de la homología con la intersección E de las dos rectas tangentes (en color azul claro) tenemos que la prolongación de esta recta centro-E corta a la intersección de las dos rectas rojas asíntotas en el punto H, es el centro de la hipérbola. La recta bisectriz de las dos asíntotas es el eje de la hipérbola (recta discontinua en color azul claro), donde este eje corta al eje de la homología (en I), lo unimos con el punto de intersección E de las dos tangentes azules. Esta recta IE corta a la circunferencia en dos puntos JK, sus homólogos LM son los vértices de la hipérbola. Para calcular los demás puntos de la hipérbola construimos una recta cualquiera que vaya del centro de homología a la recta límite (por ejemplo la recta que definen los puntos centro-N), a continuación hacemos varias secantes a la circunferencia NQ NR NS y en los puntos de intersección de estas rectas con el eje de homología hacemos rectas paralelas a la dirección del centro-N, obteniendo las rectas OT DU PV. A continuación alineamos el centro de la homología con los puntos Q, R, S K, teniendo en la intersección con las últimas correctas calculadas los homólogos de la circunferencia T, U, V. Para calcular los puntos homólogos de una circunferencia, dado uno de los puntos de la figura transformada, en este caso una elipse, procedemos como hasta ahora: unimos un punto de la circunferencia A’ con otro B’ de la misma hasta que se corten el eje, en el punto de corte del eje lo unimos con el punto de la elipse dado A, donde ésta recta corte a la recta OB’ obtenemos el punto B. Las rectas homólogas se cortan en el eje y los puntos homólogos están alineados con el centro de proyección. En la ilustración podemos ver que si hacemos una tangente a la circunferencia y en su punto homólogo de la elipse hacemos otra recta tangente, se corta en el mismo punto del eje. De ello se desprende que la tangencia es un invariante de la homología, al igual que la incidencia, la intersección, la polaridad, la razón doble, etc. Una elipse se transforma en otra mediante una homología de centro O. La recta secante AB corta en el eje en un punto y la homóloga de la recta se corta en el mismo punto. Como lo homología es un caso particular de la perspectiva, y ésta representa lo que el ojo ve, en teoría una circunferencia se podría ver como cualquiera de las cónicas, no sólo como lo que nos parece ver que en principio sería una elipse por regla general. No obstante la perspectiva artificial que es la puramente geométrica, utiliza un plano del cuadro recto mientras que el de la perspectiva natural del ojo, se proyecta sobre una retina cóncava, amén de todas las transformaciones ópticas y fisiológicas que se producen hasta que se forma la imagen en el cerebro.

HOMÓLOGA CASO ELIPSE

Para construir la homóloga de una circunferencia en el caso elíptico, dados el Centro de la homología, la recta Límite (en color rojo) y el Eje (en color verde) así como la circunferencia de la que hemos de calcular su figura homóloga se procede de la siguiente forma.
Se considera la recta límite como la recta polar de la que se calcula el Polo sobre la circunferencia, para ello hacemos una recta perpendicular HA a la límite desde el centro de la circunferencia A, en el punto de intersección trazamos las tangentes, uniendo estos dos puntos de tangencia IM obtenemos en la intersección con la recta anterior perpendicular HA el polo de la recta límite. Calculamos también la recta polar LM de la circunferencia respecto al centro, esta recta es la que pasa por los puntos de tangencia LM de las rectas tangentes a la circunferencia desde el centro. La intersección de la recta polar LM con la recta que une el centro de la circunferencia A con el centro de la homología nos define el punto conjugado (en color verde).
Construimos la recta mediatriz (línea discontinua alterna de color azul claro) del segmento comprendido entre el centro del homología y el punto conjugado. Donde esta recta mediatriz corta a la límite tenemos el centro de la circunferencia C de la que tomamos como radio la distancia de este último centro calculado al centro de la homología. Donde esta circunferencia corta a la recta límite obtenemos los dos puntos NK que definen junto con el centro la dirección de los dos ejes de la elipse (en el dibujo en color ocre y morado).
Desde estos puntos límites K N hacemos las dos rectas tangentes a la circunferencia teniendo en la intersección con el eje las trazas de las que vamos a calcular sus homólogas que definen el cuadrilátero que inscribe a la elipse. Donde estas tangentes cortan al eje hacemos rectas paralelas a las direcciones del centro-K y del centro-N. De esta forma podemos dibujar el cuadrilátero con las direcciones correspondientes a la dirección en ocres los segmentos VS y UT. Y las homólogas correspondientes a la dirección en morado los segmentos VU y ST.
Los puntos medios de este cuadrilátero determinan el eje mayor y eje menor de la elipse. Si la circunferencia corta al eje de homología la elipse también lo cortará en los mismos puntos.

Dado un cuadrilátero, inscribir una elipse, calcular su homóloga y el centro de la elipse.