Perspectiva de figuras y superficies
Construcción de la perspectiva por pasos:
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Análisis de los fundamentos de la perspectiva cónica:
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Análisis de los fundamentos de la perspectiva cónica:
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Construcción de la planta y los datos dada una perspectiva:
Perspectiva de plano de cuadro curvo:
Perspectiva de la pirámide
En la figura podemos observar una pirámide en perspectiva. Para construirla seguimos tres pasos: en la planta prolongamos los lados de la figura hasta que corten al plano del cuadro PC y en los puntos de intersección subimos verticales hasta la línea de tierra LT, puntos que uniremos con los puntos de fuga F de la figura. Para calcular los puntos de fuga hacemos en planta rectas paralelas por el centro de proyección V a los lados de la figura hasta que corten al plano del cuadro. En los puntos de intersección levantamos verticales hasta la línea del horizonte LH obteniendo los puntos de fuga. Si en la parte superior del dibujo tenemos calculadas ya las trazas de las rectas de la base del dibujo y los puntos de fuga tenemos ya la perspectiva de la figura en planta, lo último que queda es calcular la altura. Para calcular la altura cogemos a partir de una traza de una recta sobre la línea de tierra la longitud de la altura de la figura. Proyectamos esta altura hasta un punto de fuga y donde corte a una vertical que pase por un vértice de la perspectiva de la base de la figura, tenemos la calculada la altura en el punto de esa perspectiva.
Aquí tenemos otro procedimiento para dibujar la perspectiva. Construimos la figura, el plano del cuadro (en rojo) y el punto de vista V en proyección ortogonal en planta y en perfil. Unimos el punto de vista con los vértices de la figura (P1 P2) y donde corten estas rectas al plano de cuatro en la planta y en el perfil (P1’ P2’) hacemos verticales (n) y horizontales (m) respectivamente. La intersección de las líneas horizontales y verticales nos determinan puntos de la perspectiva de la figura.
Aquí tenemos otro ejemplo como el anterior. Tenemos la planta y el perfil de una pirámide truncada, alineando en la planta y en el perfil con el punto de vista tenemos rectas que, en la intersección con el plano del cuadro determinan puntos que proyectamos mediante ortogonales al PC. La intersección de las ortogonales de la planta y perfil determinan puntos de la perspectiva.
Perspectiva de cuadro inclinado
En la perspectiva de cuadro inclinado las líneas verticales por regla general aparecen oblicuas respecto al plano del cuadro. De esto se desprende que las líneas verticales cortan al plano del cuadro y por tanto que tienen un punto de fuga común sobre el plano del cuadro. En el dibujo podemos observar sobre la línea del horizonte, 2 puntos de fuga y otro punto de fuga debajo de la línea del horizonte, esto quiere decir que el plano del cuadro está inclinado por la parte del observador hacia delante, mientras que la traza del plano del cuadro respecto al plano del suelo o intersección con el plano geometral queda hacia detrás. Las líneas horizontales de los escalones fugan hacia F2 mientras que las líneas mayores de los peldaños de fuga hacia F1. Las líneas verticales fugan hacia el punto de intersección de las líneas que se marcan en el dibujo como verticales, punto que aparece fuera de la perspectiva y que llamaremos F5. Como los extremos de los peldaños definen planos verticales, la línea de fuga de estos planos verticales será una recta vertical que pasa por el punto de fuga F2, en consecuencia los tres puntos de fuga F2 F3 F4 están alineados sobre una vertical. Si unimos los tres puntos de fuga, F2 F1 F5, los dos de la recta de horizonte y el que corresponde a las líneas verticales, y construimos un triángulo considerando estos puntos como los vértices, la intersección de las alturas del triángulo definen el ortocentro que es el punto principal P de la perspectiva, o proyección del punto de vista sobre el plano del cuadro. para determinar la localización exacta del punto de vista, habrá que hacer una circunferencia cuyo diámetro sea R-F5 (R es el punto de intersección de la recta p perpendicular al horizonte por el punto principal P) y trazar por el punto principal P una línea paralela a la línea del horizonte, donde está recta corte a la circunferencia anterior tenemos el punto de vista V, que no es otra cosa que el vértice de la pirámide cuyas caras son paralelas a los planos principales de las escaleras.
La luz puntual queda determinada por la intersección de dos líneas, cada una formada por un punto y su sombra: la línea o-os y la línea t-ts se cortan en el punto de luz. Para obtener la proyección del punto de luz sobre el suelo, basta con unir la sombra os de un punto o con la proyección del punto o’ sobre el suelo, la intersección de esta línea os-o’ con la línea que pasa por el punto de luz y va al punto de fuga F5 es la proyección del punto de luz sobre el suelo L’.
Las sombras de todos los peldaños son paralelas a los bordes de los peldaños, sea la luz distante o puntual, como en este caso, de ello se desprende que las sombras tienen los mismos puntos de fuga que los peldaños.
Perspectiva del cuadrado
En la figura observamos un cuadrado en color rojo del que se quiere hacer la perspectiva. Alineando los puntos del cuadrado con el centro de proyección O tenemos en la intersección con el plano del cuadro el cuadrilátero de color verde que es la perspectiva de la figura. Para dibujar la perspectiva de la misma tenemos que abatir el plano geometral PG hasta hacerlo coincidir con el plano del cuadro, de manera que el cuadrado o cuadrilátero rojo se transforma en el azul mediante un giro de 90°. Una vez que tenemos el cuadrado azul coplanar con el plano del cuadro prolongamos los lados de la figura azul hasta que cortan a la línea de tierra (en b) y por el centro de proyección abatido (O) hacemos rectas paralelas a los lados del cuadrado azul hasta que corten a la línea del horizonte en los llamados puntos de fuga (F1). Los puntos obtenidos sobre la línea de tierra se unen mediante rectas con los puntos obtenidos sobre la línea del horizonte, obteniendo la perspectiva de cada una de las rectas de la base de la figura. La alineación OAA’ se mantiene tras el abatimiento de los planos, con lo que sus transformados resultan igualmente colineales: (O)A’(A)
En el dibujo podemos observar el abatimiento del cuadrado en el perfil y proyectado sobre un alzado en azul. Por el centro de proyección abatido (O) se han hecho paralelas a los lados del cuadrado azul obteniendo en la intersección con la línea del horizonte los puntos de fuga. La prolongación de los lados del cuadrado azul determina las trazas de las rectas sobre la línea de tierra, que unidas a los puntos de fuga definen la perspectiva del cuadrado (en color verde en el dibujo). Como se puede observar en el dibujo, el centro de proyección abatido (O), los puntos del cuadrilátero verde y los del cuadrilátero azul están alineados, cada punto con su perspectiva correspondiente. Ello es debido a que las dos figuras son homólogas y el centro de proyección es el punto de vista de la perspectiva y centro de la homología, siendo la línea de tierra el eje y la del horizonte la límite.
En este dibujo podemos ver con detalles la perspectiva del cuadrado rojo que es el cuadrado amarillo. Se puede observar que el plano que pasa por el centro de proyección (del horizonte u horizontal) y es perpendicular al plano del cuadro, se gira 90° tomando como eje de giro el horizonte de manera que tenemos el abatimiento del centro de proyección o punto de vista (O).
En el mismo sentido y ángulo de giro transformamos el cuadrado rojo en el azul de manera que el plano geometral se transforma en un plano coincidente con el plano del cuadro, provocando que la figura roja se transforme en la azul. De esta manera al haber girado estos dos planos el mismo ángulo las rectas quedan paralelas, esto es, las rectas que iban del centro de proyección al punto de fuga que eran paralelas a los lados de la figura en el espacio se mantienen paralelas tras el giro.
En la figura podemos comprobar cómo el cuadrado azul se transforma por perspectiva en el cuadrilátero amarillo. Éste procedimiento para hacer la perspectiva tiene el inconveniente de que cómo es por homología, la figura queda invertida. Esto quiere decir que la perspectiva de un punto queda en la parte opuesta respecto a la figura en planta.
Igual que un punto y su perspectiva están alineados con el centro de proyección en el espacio, al hacer el abatimiento del plano geometral y del plano que pasa por el horizonte, el punto de vista o centro de proyección mantiene su alineación con cada punto de la figura y su correspondiente perspectiva.
Según uno de los teoremas del Thales, las rectas concurrentes comprendidas en una semicircunferencia forman 90°, de ahí que se haya dibujado una semicircunferencia que pasa por los puntos de fuga y el centro de proyección o punto de vista, y por analogía otra en cuyo vértice está la figura en planta, mostrando así que los lados de la misma forman entre sí 90°.
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Perspectiva del cono
Aquí observamos otro ejemplo de la perspectiva del cono por un método directo de construcción. El cono junto con el plano del cuadro y el punto de vista, dibujados en planta y en el perfil, en la intersección de imaginarios rayos visuales con el plano del cuadro se determinan puntos de intersección que se proyectan mediante ortogonales al PC.
En la intersección de las ortogonales obtenemos puntos de la perspectiva de la figura.
Perspectiva del cilindro
aquí observamos la perspectiva de un cilindro construido en planta y en un alzado mediante una vista auxiliar oblicua. Por el punto de vista hacemos paralelas (a’) al cuadrilátero (a) que lo inscribe hasta que corten al plano del cuadro PC en planta. En los puntos de intersección levantamos verticales hasta la línea del horizonte obteniendo los puntos de fuga (F’). En el cuadrilátero en planta cogemos sus lados y los prolongamos hasta que cortan al plano del cuadro PC levantando a continuación verticales hasta que corten a la línea de tierra LT en puntos que unimos con los puntos de fuga.
Al unir los puntos de la línea de tierra con los puntos de la línea del horizonte tenemos rectas que definen la perspectiva del cuadrilátero en el que se hace una elipse tangente en los puntos del cuadrante obteniendo la perspectiva de la circunferencia.
La altura h se coloca a partir de una de las trazas de la recta y se proyecta hasta el punto de fuga, donde corte a las verticales por los vértices de la figura obtenemos la altura correspondiente en el punto de la perspectiva.
aquí tenemos la perspectiva de un cilindro que se apoya en una generatriz. Por el punto de vista hemos hecho paralelas a las rectas de la planta a b de la figura hasta que cortan en el plano del cuadro en dos puntos por los que hacemos verticales y los proyectamos mediante ortogonales al plano del cuadro hasta la línea del horizonte obteniendo en su intersección los puntos de fuga F F’. Prolongamos los lados de la figura en planta hasta que cortan al plano del cuadro PC en unos puntos que levantamos mediante verticales hasta la línea de tierra LT. Uniendo los puntos calculados sobre la línea de tierra con los puntos calculados sobre la línea del horizonte obtenemos en la intersección, la perspectiva del rectángulo en cuyos vértices levantamos verticales sobre los que hemos proyectado la altura correspondiente de la figura y en cuyas intersecciones obtenemos los puntos de las circunferencias en perspectiva que se transforman en elipses.
Perspectiva del prisma
Aquí observamos la perspectiva de un prisma construido por medio de los puntos métricos. Por el punto de vista en planta hacemos rectas paralelas a la figura obteniendo en la intersección con el plano del cuadro en planta los puntos de fuga (F). Haciendo centro en el punto de fuga F con la distancia del punto de fuga al punto de vista F-V hacemos un arco hasta que corta al plano del cuadro en el punto métrico M. El punto métrico y el punto de vista determinan una recta n que es paralela a la recta m y que determina el punto P que va a ser la perspectiva del final del lado de la figura.
Al mismo tiempo como hemos hecho un arco con centro en el punto de fuga F y radio hasta el punto de vista V hemos trasladado esa distancia hasta el plano del cuadro obteniendo FM. Este giro provoca que al ser la distancia la misma, tenemos que como la recta m es paralela a n, hemos trasladado también la longitud del segmento a la línea de tierra sobre el plano del cuadro en planta. Esto quiere decir que podemos colocar la distancia del segmento a sobre la línea de tierra a partir del punto O y unirlo con M sobre el horizonte obteniendo de esta forma la perspectiva del punto P.
La longitud en azul sobre la LT es la medida real del segmento a y en la intersección de la recta que va de M sobre el horizonte hasta el final del segmento azul con a’’ (perspectiva de a), tenemos la perspectiva de P.
Mediante la construcción de los puntos métricos podemos obtener rápidamente la perspectiva de una figura. Haciendo en planta un arco con el centro en el punto de fuga y con la distancia del punto de fuga al punto de vista obtenemos a la intersección con el plano del cuadro los puntos de medida o puntos métricos.
Estos puntos obtenidos en el plano del cuadro en planta los subimos mediante verticales hasta la línea del horizonte teniendo de esta manera dos puntos de medida M1 M2 sobre la línea del horizonte LH, colocamos las longitudes de los lados de la figura sobre la línea de tierra a partir del punto donde va a empezar su perspectiva. Alineando cada punto de medida (M2) con el segmento correspondiente (el punto M2 con el final del segmento b) obtenemos en la intersección del lado de la base de la figura que va al punto de fuga, el extremo de la misma en perspectiva, esto es, la perspectiva de b.
Aquí observamos la perspectiva del prisma en la que en planta hemos hecho rectas paralelas por el punto de vista a los lados de la figura a b obteniendo en la intersección con el plano del cuadro los puntos de fuga F F’ que subimos a la línea del horizonte. En cada uno de los puntos de fuga hemos hecho centro con la distancia hasta el punto de vista haciendo un arco que corta a la línea del plano del cuadro en planta en los puntos métricos, puntos que subimos a la línea del horizonte y alineamos con cada uno de los segmentos de la figura en planta ubicados sobre la línea de tierra (en color azul).
En la intersección de estos segmentos que unen los puntos métricos con las longitudes de la base sobre la LT, con la perspectiva de las líneas (a’) tenemos los lados del cuadrado en perspectiva de la figura.
Una vez que tenemos la perspectiva de la planta sólo tenemos que colocar la altura h sobre la traza de una recta y proyectarla hasta el punto de fuga, donde ésta altura corte a las verticales por cada uno de los vértices de la base de la figura, tenemos calculado la perspectiva de los segmentos verticales en su punto correspondiente.
En esta figura tenemos la perspectiva cónica del prisma hecho por homología. Debajo de la línea de tierra hemos colocado el cuadrado correspondiente a la base de la figura y prolongamos sus lados a b hasta que cortan a la línea de tierra en puntos que son las trazas de las rectas. Estos puntos o trazas de las rectas los unimos con los puntos de fuga Fa Fb, obtenidos al hacer por el punto de vista V rectas paralelas a los lados de la figura en planta.
Las paralelas por el punto de vista a los lados de la figura determinan en la línea de intersección 2 puntos de fuga del cuadrilátero. Una vez que tenemos los puntos de fuga sobre la línea del horizonte y las trazas sobre la línea de tierra los unimos y hacemos rectas en cuya intersección se determina la perspectiva del cuadrado. A partir de ahí ya sólo tenemos que colocar la altura en una de las trazas de la figura y proyectarla hasta los puntos de fuga correspondientes. La intersección de esta línea proyectada con las verticales por cada uno de los puntos de la figura en perspectiva nos determina las alturas correspondientes en cada uno de los vértices de la perspectiva.
Aquí hemos construido la perspectiva del prisma por el método del arquitecto. Dibujando la planta encima de la línea del horizonte y alineando los vértices con el punto de vista obtenemos en la intersección con la línea del horizonte 2 puntos P T por los que bajamos verticales obteniendo el contorno de la figura en la intersección con las rectas en perspectiva de la misma a’ b’.
De esta manera se logra dibujar la perspectiva en un espacio muy reducido, ya que consideramos la planta de la figura y la línea del horizonte como el plano del cuadro, en planta.
De la misma manera hacemos paralelas a la figura por V hasta obtener los puntos de fuga Fa Fb, considerando de nuevo la línea del horizonte LH como línea del plano del cuadro de la perspectiva.
La altura se obtiene como en los demás métodos, a partir de una de las trazas de las rectas en perspectiva colocamos la longitud de la altura h y la proyectamos hasta el punto de fuga teniendo en la intersección con las verticales por cada uno de los vértices de la planta las alturas correspondientes de las aristas de la figura.
En este dibujo tenemos la perspectiva del prisma por un método directo. Éste método prescinde de los puntos de fuga ya que trabaja con puntos localizados en una situación finita.
Para construirla hemos dibujado la planta y el perfil de la figura con la proyección del plano del cuadro PC y el punto de vista V correspondiente en cada proyección.
Hemos alineado el punto de vista con cada uno de los puntos de la figura tanto en la planta (V1 con A1) como el perfil y hemos proyectado estos puntos de intersección (A’1) con el PC mediante ortogonales al plano del cuadro en cada una de las dos vistas. La intersección de estas ortogonales m n definen puntos (F) de la perspectiva de la figura.
Aquí observamos la perspectiva frontal de un prisma, en la que se ha utilizado un punto métrico coincidente con el punto de fuga. Si hacemos líneas a 45° que corten a la línea de tierra en planta (a b), la perspectiva de estas líneas sigue una dirección a 45° por el punto de vista hasta la línea del horizonte pero en una dirección ortogonal a las anteriores, ello es debido a que estamos haciendo un abatimiento de la planta en el sentido de giro opuesto al que hacemos de el punto de vista. Si hubiéramos hecho el abatimiento del punto de vista por encima de la línea del horizonte, tendríamos como hasta ahora, que la línea que une el punto de vista V y el punto de fuga F sería paralela a las rectas a b.
Perspectiva de figuras varias
perspectiva de una figura construida mediante dos prismas y una pirámide. Como se puede observar hemos construido la perspectiva por homología de ahí que hayamos colocado la planta de la misma con un vértice sobre la línea de tierra y que hayamos hecho rectas que pasan por los lados de la figura hasta que corten a la misma.
Por el punto de vista hemos hecho rectas paralelas a los lados de la figura en planta obteniendo el intersección con la línea del horizonte los puntos de fuga. Uniendo estos puntos de fuga con las trazas de cada una de las rectas tenemos en planta la perspectiva de los dos cuadrados. A continuación colocamos las alturas verticales a partir de las trazas de las rectas y las proyectamos hasta los puntos de fuga y en la intersección con las verticales que pasan por los puntos correspondientes de las perspectivas hemos obtenido las alturas de la figura en perspectiva.
Aquí observamos la perspectiva de la figura con una gran distorsión por estar el punto de vista muy cercano al plano del cuadro, como podemos observar en la planta.
Haciendo rectas paralelas a los lados de la figura en la planta obtenemos en la intersección con el plano del cuadro 2 puntos de fuga que subimos a la línea del horizonte. En la planta prolongamos los lados de la figura hasta que cortan al plano del cuadro en puntos que subimos mediante verticales hasta la línea de tierra. Alineando los puntos de la LT con los puntos de fuga del horizonte obtenemos la perspectiva de la planta.
En cada una de las trazas de las rectas en perspectiva colocamos las alturas de la figura y las proyectamos hacia los puntos de fuga obteniendo en la intersección con las verticales que pasan por los vértices de la figura en perspectiva, las alturas correspondientes.
El ejercicio resuelto por el método anterior y en el que se ha colocado el alzado de la figura en una proyección en la que no interfiere en el dibujo. En toda perspectiva tenemos siempre proyecciones de la figura ortogonales que proyectamos sobre la que va ser la figura en perspectiva. De esta manera siempre partimos del sistema diédrico para construir la perspectiva.
En la figura tenemos la colocación de los elementos de la perspectiva en planta. Los puntos en la parte inferior del plano del cuadro, su situación respecto al punto de vista y la colocación de la figura con el ángulo correspondiente respecto al plano del cuadro. Tenemos también la vista en alzado proyectada hacia la parte de abajo con las alturas correspondientes. El procedimiento en esta construcción es el mismo que el ejercicio anterior, una vez que obtenemos la perspectiva de la planta de la figura colocamos las alturas sobre la línea de tierra a partir cada una de las trazas de las rectas. Estas alturas las proyectamos hasta la línea del horizonte y donde cortan a las verticales que pasamos por los vértices de la base de la figura tenemos las alturas correspondientes de la figura en perspectiva.
Aquí observamos la perspectiva de un prisma que simula ser una casa con un tejado a dos aguas. Observamos que la perspectiva sale con una gran distorsión otra vez por estar el punto de vista muy cercano al plano del cuadro.
Para evitar que esto suceda el ángulo en planta que debe abarcar a la figura desde el punto de vista debe ser de 60° máximo, esto quiere decir que si hacemos un cono cuyo vértice es el punto de vista y tiene de ángulo entre dos generatrices diametralmente opuestas 60°, se debe representar en perspectiva todo lo que aparece dentro de este imaginario cono visual. Todo lo que queda fuera de ese ángulo de 60° queda cada vez más distorsionado, según se aleja del mismo.
En esta perspectiva observamos unas escaleras con las fugas correspondientes. Seguimos el método previo y podemos observar que todas las rectas paralelas se cortan en un mismo punto, principio básico de la perspectiva. También podemos deducir que si las rectas paralelas son horizontales se cortan en un punto común de la línea del horizonte.
Otra figura en perspectiva constituida por dos prismas con sus alturas correspondientes.
Figura construida en perspectiva. Se ha hecho un abatimiento del plano horizontal y del plano geometral con un giro de 90° en el mismo sentido. De esta forma la dirección de los lados de la figura en planta es la misma que la dirección de las rectas que pasan por el punto de vista.
En la figura observamos la perspectiva de un prisma con forma de cuña. El procedimiento es análogo a otros anteriores, tenemos como novedad que las líneas oblicuas respecto al plano del cuadro m n se cortan sobre una vertical por F1, ello es debido a que las rectas están sobre planos verticales paralelos y por tanto su línea del horizonte o recta límite pasa por el punto de fuga F1, definido por la dirección de la recta a que pasa por el punto de vista y es paralela a la recta b, por el que pasa un plano vertical que contiene a m.
Perspectiva construida según un método anterior. Como novedad tenemos que, basándonos en que las rectas paralelas se cortan en un mismo punto de fuga y que las rectas que están en un mismo plano tienen el punto de fuga sobre la línea del horizonte de ese plano, podemos deducir que los puntos de fuga F2 F3 están alineados en una vertical ya que todas las rectas que concurren en esos dos puntos siguen todos la misma dirección en planos verticales paralelos, de ahí se desprende que los puntos de fuga F2 F3 están sobre una línea del horizonte vertical que los contiene.
Una escalera de caracol se genera con una curva llamada helicoide y está definida por la intersección de circunferencias con las generatrices de un cilindro. La intersección de la primera circunferencia contada a partir de la base con una generatriz, la intersección de la segunda con la siguiente generatriz, etcétera, determinan la curva alabeada.
Para construir una escalera de caracol, dibujamos sobre la circunferencia de la base de centro C los distintos peldaños y los proyectamos sobre el cuadrilátero en perspectiva (en ocre) dibujando en su interior la circunferencia verde.
Sobre cada uno de los peldaños, se trata de hacer un segmento sobre cada punto extremo del arco de la circunferencia (por ejemplo el A). Este segmento se va incrementando en una unidad respecto al anterior (por ejemplo el B).
Como ejemplo dibujamos el peldaño que en planta es el sector circular ABC.
De igual manera que hemos hecho una diagonal en el cuadrado para obtener el punto de medida o punto métrico M (intersección de esa dirección por O con LH), si por A hacemos una recta paralela p a la recta n, tenemos que corta a la línea de tierra en el punto T, punto desde el que hacemos una paralela en perspectiva a la recta anterior. Como es paralela tendrá por punto de fuga el mismo punto de medida o punto métrico M. La intersección de esta línea (que pasa por el punto T hasta M) con la perspectiva de la recta ortogonal RA al cuadro (esto es, RY), -que se obtiene levantando por A una recta vertical hasta que corta a la línea de tierra en R, y por ese punto haciendo una recta con dirección al punto principal I-, obtenemos V, que es la perspectiva de A.
Para obtener la altura del vértice del peldaño, colocamos a partir de la línea de tierra la altura del peldaño (hasta S), que en este caso es el tercer peldaño, con lo que tenemos que tomar tres unidades para este punto y desde él fugamos hacia el punto de medida M y donde corta a la vertical por V tenemos la perspectiva L del vértice del peldaño.
Todos los demás puntos se podrían obtener de igual forma. Éste segmento proyectado VL habría que unirlo con la perspectiva del tercer segmento proyectado en perspectiva sobre el eje del helicoide e, una línea vertical que pasa por el centro de la circunferencia verde, base de la escalera.
Las aristas superior h e inferior i de la contrahuella son paralelas por lo que se cortan en el mismo punto de fuga F. El borde de cada huella del peldaño es un arco elíptico o fragmento de circunferencia en perspectiva hasta la vertical o generatriz siguiente del cilindro.
En síntesis, la perspectiva de la escalera lo es de sus puntos de la circunferencia a las distintas alturas correspondientes, unidas al eje de la figura.
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En la figura podemos observar un prisma y su perspectiva cónica o intersección de los rayos visuales con el plano del cuadro. Para determinar la perspectiva de cada vértice de la figura unimos cada punto R con el punto de vista V y en la intersección de esta línea con el plano del cuadro obtenemos su perspectiva R’. Para obtener la perspectiva de cada recta, la prolongamos hasta que corta al plano del cuadro en un punto que llamamos traza. Por el punto de vista hacemos una recta paralela a la anterior obteniendo en la intersección con el plano del cuadro su punto de fuga. A continuación unimos la traza con el punto de fuga y tenemos la perspectiva de la recta. Es el procedimiento que sea seguido para hacer la perspectiva de las dos líneas o aristas de la base de la figura ortogonales al plano del cuadro, obteniendo su punto de fuga en el punto principal P o proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro. Para determinar la localización exacta de cada punto de la base hicimos una recta diagonal w que pasar por dos puntos opuestos del rectángulo de la base. Está recta corta al plano del cuadro en su traza que unido al punto de fuga o punto de intersección de la misma dirección por el punto de vista con el plano del cuadro obtenemos la perspectiva de esta línea. Esta línea corta a las dos anteriores en dos puntos que definen los vértices de la diagonal del cuadrilátero de la base de la figura. Como las rectas paralelas se cortan en el infinito tenemos que la perspectiva de la línea w es la línea w’ y esa transformación es válida también si se hace un abatimiento del mismo ángulo, en este sentido contrario a los agujas del reloj, de manera que tenemos estas líneas abatidas sobre el plano del cuadro obteniendo así las rectas (w) (w), ambas resultan tras la transformación por abatimiento paralelas.
En la figura observamos un cuadrado en color rojo del que se quiere hacer la perspectiva. Alineando los puntos del cuadrado con el centro de proyección O tenemos en la intersección con el plano del cuadro el cuadrilátero de color verde que es la perspectiva de la figura. Para dibujar la perspectiva de la misma tenemos que abatir el plano geometral PG hasta hacerlo coincidir con el plano del cuadro, de manera que el cuadrado o cuadrilátero rojo se transforma en el azul mediante un giro de 90°. Una vez que tenemos el cuadrado azul coplanar con el plano del cuadro prolongamos los lados de la figura azul hasta que cortan a la línea de tierra (en b) y por el centro de proyección abatido (O) hacemos rectas paralelas a los lados del cuadrado azul hasta que corten a la línea del horizonte en los llamados puntos de fuga (F1). Los puntos obtenidos sobre la línea de tierra se unen mediante rectas con los puntos obtenidos sobre la línea del horizonte, obteniendo la perspectiva de cada una de las rectas de la base de la figura. La alineación OAA’ se mantiene tras el abatimiento de los planos, con lo que sus transformados resultan igualmente colineales: (O)A’(A)
En el dibujo podemos observar el abatimiento del cuadrado en el perfil y proyectado sobre un alzado en azul. Por el centro de proyección abatido (O) se han hecho paralelas a los lados del cuadrado azul obteniendo en la intersección con la línea del horizonte los puntos de fuga. La prolongación de los lados del cuadrado azul determina las trazas de las rectas sobre la línea de tierra, que unidas a los puntos de fuga definen la perspectiva del cuadrado (en color verde en el dibujo). Como se puede observar en el dibujo, el centro de proyección abatido (O), los puntos del cuadrilátero verde y los del cuadrilátero azul están alineados, cada punto con su perspectiva correspondiente. Ello es debido a que las dos figuras son homólogas y el centro de proyección es el punto de vista de la perspectiva y centro de la homología, siendo la línea de tierra el eje y la del horizonte la límite.
En este dibujo podemos ver con detalles la perspectiva del cuadrado rojo que es el cuadrado amarillo. Se puede observar que el plano que pasa por el centro de proyección (del horizonte u horizontal) y es perpendicular al plano del cuadro, se gira 90° tomando como eje de giro el horizonte de manera que tenemos el abatimiento del centro de proyección o punto de vista (O).
En el mismo sentido y ángulo de giro transformamos el cuadrado rojo en el azul de manera que el plano geometral se transforma en un plano coincidente con el plano del cuadro, provocando que la figura roja se transforme en la azul. De esta manera al haber girado estos dos planos el mismo ángulo las rectas quedan paralelas, esto es, las rectas que iban del centro de proyección al punto de fuga que eran paralelas a los lados de la figura en el espacio se mantienen paralelas tras el giro.
En la figura podemos comprobar cómo el cuadrado azul se transforma por perspectiva en el cuadrilátero amarillo. Éste procedimiento para hacer la perspectiva tiene el inconveniente de que cómo es por homología, la figura queda invertida. Esto quiere decir que la perspectiva de un punto queda en la parte opuesta respecto a la figura en planta.
Igual que un punto y su perspectiva están alineados con el centro de proyección en el espacio, al hacer el abatimiento del plano geometral y del plano que pasa por el horizonte, el punto de vista o centro de proyección mantiene su alineación con cada punto de la figura y su correspondiente perspectiva.
Según uno de los teoremas del Thales, las rectas concurrentes comprendidas en una semicircunferencia forman 90°, de ahí que se haya dibujado una semicircunferencia que pasa por los puntos de fuga y el centro de proyección o punto de vista, y por analogía otra en cuyo vértice está la figura en planta, mostrando así que los lados de la misma forman entre sí 90°.
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Perspectiva del cono
Aquí observamos otro ejemplo de la perspectiva del cono por un método directo de construcción. El cono junto con el plano del cuadro y el punto de vista, dibujados en planta y en el perfil, en la intersección de imaginarios rayos visuales con el plano del cuadro se determinan puntos de intersección que se proyectan mediante ortogonales al PC.
En la intersección de las ortogonales obtenemos puntos de la perspectiva de la figura.
Perspectiva del cilindro
aquí observamos la perspectiva de un cilindro construido en planta y en un alzado mediante una vista auxiliar oblicua. Por el punto de vista hacemos paralelas (a’) al cuadrilátero (a) que lo inscribe hasta que corten al plano del cuadro PC en planta. En los puntos de intersección levantamos verticales hasta la línea del horizonte obteniendo los puntos de fuga (F’). En el cuadrilátero en planta cogemos sus lados y los prolongamos hasta que cortan al plano del cuadro PC levantando a continuación verticales hasta que corten a la línea de tierra LT en puntos que unimos con los puntos de fuga.
Al unir los puntos de la línea de tierra con los puntos de la línea del horizonte tenemos rectas que definen la perspectiva del cuadrilátero en el que se hace una elipse tangente en los puntos del cuadrante obteniendo la perspectiva de la circunferencia.
La altura h se coloca a partir de una de las trazas de la recta y se proyecta hasta el punto de fuga, donde corte a las verticales por los vértices de la figura obtenemos la altura correspondiente en el punto de la perspectiva.
aquí tenemos la perspectiva de un cilindro que se apoya en una generatriz. Por el punto de vista hemos hecho paralelas a las rectas de la planta a b de la figura hasta que cortan en el plano del cuadro en dos puntos por los que hacemos verticales y los proyectamos mediante ortogonales al plano del cuadro hasta la línea del horizonte obteniendo en su intersección los puntos de fuga F F’. Prolongamos los lados de la figura en planta hasta que cortan al plano del cuadro PC en unos puntos que levantamos mediante verticales hasta la línea de tierra LT. Uniendo los puntos calculados sobre la línea de tierra con los puntos calculados sobre la línea del horizonte obtenemos en la intersección, la perspectiva del rectángulo en cuyos vértices levantamos verticales sobre los que hemos proyectado la altura correspondiente de la figura y en cuyas intersecciones obtenemos los puntos de las circunferencias en perspectiva que se transforman en elipses.
Perspectiva del prisma
Aquí observamos la perspectiva de un prisma construido por medio de los puntos métricos. Por el punto de vista en planta hacemos rectas paralelas a la figura obteniendo en la intersección con el plano del cuadro en planta los puntos de fuga (F). Haciendo centro en el punto de fuga F con la distancia del punto de fuga al punto de vista F-V hacemos un arco hasta que corta al plano del cuadro en el punto métrico M. El punto métrico y el punto de vista determinan una recta n que es paralela a la recta m y que determina el punto P que va a ser la perspectiva del final del lado de la figura.
Al mismo tiempo como hemos hecho un arco con centro en el punto de fuga F y radio hasta el punto de vista V hemos trasladado esa distancia hasta el plano del cuadro obteniendo FM. Este giro provoca que al ser la distancia la misma, tenemos que como la recta m es paralela a n, hemos trasladado también la longitud del segmento a la línea de tierra sobre el plano del cuadro en planta. Esto quiere decir que podemos colocar la distancia del segmento a sobre la línea de tierra a partir del punto O y unirlo con M sobre el horizonte obteniendo de esta forma la perspectiva del punto P.
La longitud en azul sobre la LT es la medida real del segmento a y en la intersección de la recta que va de M sobre el horizonte hasta el final del segmento azul con a’’ (perspectiva de a), tenemos la perspectiva de P.
Mediante la construcción de los puntos métricos podemos obtener rápidamente la perspectiva de una figura. Haciendo en planta un arco con el centro en el punto de fuga y con la distancia del punto de fuga al punto de vista obtenemos a la intersección con el plano del cuadro los puntos de medida o puntos métricos.
Estos puntos obtenidos en el plano del cuadro en planta los subimos mediante verticales hasta la línea del horizonte teniendo de esta manera dos puntos de medida M1 M2 sobre la línea del horizonte LH, colocamos las longitudes de los lados de la figura sobre la línea de tierra a partir del punto donde va a empezar su perspectiva. Alineando cada punto de medida (M2) con el segmento correspondiente (el punto M2 con el final del segmento b) obtenemos en la intersección del lado de la base de la figura que va al punto de fuga, el extremo de la misma en perspectiva, esto es, la perspectiva de b.
Aquí observamos la perspectiva del prisma en la que en planta hemos hecho rectas paralelas por el punto de vista a los lados de la figura a b obteniendo en la intersección con el plano del cuadro los puntos de fuga F F’ que subimos a la línea del horizonte. En cada uno de los puntos de fuga hemos hecho centro con la distancia hasta el punto de vista haciendo un arco que corta a la línea del plano del cuadro en planta en los puntos métricos, puntos que subimos a la línea del horizonte y alineamos con cada uno de los segmentos de la figura en planta ubicados sobre la línea de tierra (en color azul).
En la intersección de estos segmentos que unen los puntos métricos con las longitudes de la base sobre la LT, con la perspectiva de las líneas (a’) tenemos los lados del cuadrado en perspectiva de la figura.
Una vez que tenemos la perspectiva de la planta sólo tenemos que colocar la altura h sobre la traza de una recta y proyectarla hasta el punto de fuga, donde ésta altura corte a las verticales por cada uno de los vértices de la base de la figura, tenemos calculado la perspectiva de los segmentos verticales en su punto correspondiente.
En esta figura tenemos la perspectiva cónica del prisma hecho por homología. Debajo de la línea de tierra hemos colocado el cuadrado correspondiente a la base de la figura y prolongamos sus lados a b hasta que cortan a la línea de tierra en puntos que son las trazas de las rectas. Estos puntos o trazas de las rectas los unimos con los puntos de fuga Fa Fb, obtenidos al hacer por el punto de vista V rectas paralelas a los lados de la figura en planta.
Las paralelas por el punto de vista a los lados de la figura determinan en la línea de intersección 2 puntos de fuga del cuadrilátero. Una vez que tenemos los puntos de fuga sobre la línea del horizonte y las trazas sobre la línea de tierra los unimos y hacemos rectas en cuya intersección se determina la perspectiva del cuadrado. A partir de ahí ya sólo tenemos que colocar la altura en una de las trazas de la figura y proyectarla hasta los puntos de fuga correspondientes. La intersección de esta línea proyectada con las verticales por cada uno de los puntos de la figura en perspectiva nos determina las alturas correspondientes en cada uno de los vértices de la perspectiva.
Aquí hemos construido la perspectiva del prisma por el método del arquitecto. Dibujando la planta encima de la línea del horizonte y alineando los vértices con el punto de vista obtenemos en la intersección con la línea del horizonte 2 puntos P T por los que bajamos verticales obteniendo el contorno de la figura en la intersección con las rectas en perspectiva de la misma a’ b’.
De esta manera se logra dibujar la perspectiva en un espacio muy reducido, ya que consideramos la planta de la figura y la línea del horizonte como el plano del cuadro, en planta.
De la misma manera hacemos paralelas a la figura por V hasta obtener los puntos de fuga Fa Fb, considerando de nuevo la línea del horizonte LH como línea del plano del cuadro de la perspectiva.
La altura se obtiene como en los demás métodos, a partir de una de las trazas de las rectas en perspectiva colocamos la longitud de la altura h y la proyectamos hasta el punto de fuga teniendo en la intersección con las verticales por cada uno de los vértices de la planta las alturas correspondientes de las aristas de la figura.
En este dibujo tenemos la perspectiva del prisma por un método directo. Éste método prescinde de los puntos de fuga ya que trabaja con puntos localizados en una situación finita.
Para construirla hemos dibujado la planta y el perfil de la figura con la proyección del plano del cuadro PC y el punto de vista V correspondiente en cada proyección.
Hemos alineado el punto de vista con cada uno de los puntos de la figura tanto en la planta (V1 con A1) como el perfil y hemos proyectado estos puntos de intersección (A’1) con el PC mediante ortogonales al plano del cuadro en cada una de las dos vistas. La intersección de estas ortogonales m n definen puntos (F) de la perspectiva de la figura.
Aquí observamos la perspectiva frontal de un prisma, en la que se ha utilizado un punto métrico coincidente con el punto de fuga. Si hacemos líneas a 45° que corten a la línea de tierra en planta (a b), la perspectiva de estas líneas sigue una dirección a 45° por el punto de vista hasta la línea del horizonte pero en una dirección ortogonal a las anteriores, ello es debido a que estamos haciendo un abatimiento de la planta en el sentido de giro opuesto al que hacemos de el punto de vista. Si hubiéramos hecho el abatimiento del punto de vista por encima de la línea del horizonte, tendríamos como hasta ahora, que la línea que une el punto de vista V y el punto de fuga F sería paralela a las rectas a b.
Perspectiva de figuras varias
perspectiva de una figura construida mediante dos prismas y una pirámide. Como se puede observar hemos construido la perspectiva por homología de ahí que hayamos colocado la planta de la misma con un vértice sobre la línea de tierra y que hayamos hecho rectas que pasan por los lados de la figura hasta que corten a la misma.Por el punto de vista hemos hecho rectas paralelas a los lados de la figura en planta obteniendo el intersección con la línea del horizonte los puntos de fuga. Uniendo estos puntos de fuga con las trazas de cada una de las rectas tenemos en planta la perspectiva de los dos cuadrados. A continuación colocamos las alturas verticales a partir de las trazas de las rectas y las proyectamos hasta los puntos de fuga y en la intersección con las verticales que pasan por los puntos correspondientes de las perspectivas hemos obtenido las alturas de la figura en perspectiva.
Aquí observamos la perspectiva de la figura con una gran distorsión por estar el punto de vista muy cercano al plano del cuadro, como podemos observar en la planta.
Haciendo rectas paralelas a los lados de la figura en la planta obtenemos en la intersección con el plano del cuadro 2 puntos de fuga que subimos a la línea del horizonte. En la planta prolongamos los lados de la figura hasta que cortan al plano del cuadro en puntos que subimos mediante verticales hasta la línea de tierra. Alineando los puntos de la LT con los puntos de fuga del horizonte obtenemos la perspectiva de la planta.
En cada una de las trazas de las rectas en perspectiva colocamos las alturas de la figura y las proyectamos hacia los puntos de fuga obteniendo en la intersección con las verticales que pasan por los vértices de la figura en perspectiva, las alturas correspondientes.
El ejercicio resuelto por el método anterior y en el que se ha colocado el alzado de la figura en una proyección en la que no interfiere en el dibujo. En toda perspectiva tenemos siempre proyecciones de la figura ortogonales que proyectamos sobre la que va ser la figura en perspectiva. De esta manera siempre partimos del sistema diédrico para construir la perspectiva.
En la figura tenemos la colocación de los elementos de la perspectiva en planta. Los puntos en la parte inferior del plano del cuadro, su situación respecto al punto de vista y la colocación de la figura con el ángulo correspondiente respecto al plano del cuadro. Tenemos también la vista en alzado proyectada hacia la parte de abajo con las alturas correspondientes. El procedimiento en esta construcción es el mismo que el ejercicio anterior, una vez que obtenemos la perspectiva de la planta de la figura colocamos las alturas sobre la línea de tierra a partir cada una de las trazas de las rectas. Estas alturas las proyectamos hasta la línea del horizonte y donde cortan a las verticales que pasamos por los vértices de la base de la figura tenemos las alturas correspondientes de la figura en perspectiva.
Aquí observamos la perspectiva de un prisma que simula ser una casa con un tejado a dos aguas. Observamos que la perspectiva sale con una gran distorsión otra vez por estar el punto de vista muy cercano al plano del cuadro.
Para evitar que esto suceda el ángulo en planta que debe abarcar a la figura desde el punto de vista debe ser de 60° máximo, esto quiere decir que si hacemos un cono cuyo vértice es el punto de vista y tiene de ángulo entre dos generatrices diametralmente opuestas 60°, se debe representar en perspectiva todo lo que aparece dentro de este imaginario cono visual. Todo lo que queda fuera de ese ángulo de 60° queda cada vez más distorsionado, según se aleja del mismo.
En esta perspectiva observamos unas escaleras con las fugas correspondientes. Seguimos el método previo y podemos observar que todas las rectas paralelas se cortan en un mismo punto, principio básico de la perspectiva. También podemos deducir que si las rectas paralelas son horizontales se cortan en un punto común de la línea del horizonte.
Otra figura en perspectiva constituida por dos prismas con sus alturas correspondientes.
Figura construida en perspectiva. Se ha hecho un abatimiento del plano horizontal y del plano geometral con un giro de 90° en el mismo sentido. De esta forma la dirección de los lados de la figura en planta es la misma que la dirección de las rectas que pasan por el punto de vista.
En la figura observamos la perspectiva de un prisma con forma de cuña. El procedimiento es análogo a otros anteriores, tenemos como novedad que las líneas oblicuas respecto al plano del cuadro m n se cortan sobre una vertical por F1, ello es debido a que las rectas están sobre planos verticales paralelos y por tanto su línea del horizonte o recta límite pasa por el punto de fuga F1, definido por la dirección de la recta a que pasa por el punto de vista y es paralela a la recta b, por el que pasa un plano vertical que contiene a m.
Perspectiva construida según un método anterior. Como novedad tenemos que, basándonos en que las rectas paralelas se cortan en un mismo punto de fuga y que las rectas que están en un mismo plano tienen el punto de fuga sobre la línea del horizonte de ese plano, podemos deducir que los puntos de fuga F2 F3 están alineados en una vertical ya que todas las rectas que concurren en esos dos puntos siguen todos la misma dirección en planos verticales paralelos, de ahí se desprende que los puntos de fuga F2 F3 están sobre una línea del horizonte vertical que los contiene.
Una escalera de caracol se genera con una curva llamada helicoide y está definida por la intersección de circunferencias con las generatrices de un cilindro. La intersección de la primera circunferencia contada a partir de la base con una generatriz, la intersección de la segunda con la siguiente generatriz, etcétera, determinan la curva alabeada.
Para construir una escalera de caracol, dibujamos sobre la circunferencia de la base de centro C los distintos peldaños y los proyectamos sobre el cuadrilátero en perspectiva (en ocre) dibujando en su interior la circunferencia verde.
Sobre cada uno de los peldaños, se trata de hacer un segmento sobre cada punto extremo del arco de la circunferencia (por ejemplo el A). Este segmento se va incrementando en una unidad respecto al anterior (por ejemplo el B).
Como ejemplo dibujamos el peldaño que en planta es el sector circular ABC.
De igual manera que hemos hecho una diagonal en el cuadrado para obtener el punto de medida o punto métrico M (intersección de esa dirección por O con LH), si por A hacemos una recta paralela p a la recta n, tenemos que corta a la línea de tierra en el punto T, punto desde el que hacemos una paralela en perspectiva a la recta anterior. Como es paralela tendrá por punto de fuga el mismo punto de medida o punto métrico M. La intersección de esta línea (que pasa por el punto T hasta M) con la perspectiva de la recta ortogonal RA al cuadro (esto es, RY), -que se obtiene levantando por A una recta vertical hasta que corta a la línea de tierra en R, y por ese punto haciendo una recta con dirección al punto principal I-, obtenemos V, que es la perspectiva de A.
Para obtener la altura del vértice del peldaño, colocamos a partir de la línea de tierra la altura del peldaño (hasta S), que en este caso es el tercer peldaño, con lo que tenemos que tomar tres unidades para este punto y desde él fugamos hacia el punto de medida M y donde corta a la vertical por V tenemos la perspectiva L del vértice del peldaño.
Todos los demás puntos se podrían obtener de igual forma. Éste segmento proyectado VL habría que unirlo con la perspectiva del tercer segmento proyectado en perspectiva sobre el eje del helicoide e, una línea vertical que pasa por el centro de la circunferencia verde, base de la escalera.
Las aristas superior h e inferior i de la contrahuella son paralelas por lo que se cortan en el mismo punto de fuga F. El borde de cada huella del peldaño es un arco elíptico o fragmento de circunferencia en perspectiva hasta la vertical o generatriz siguiente del cilindro.
En síntesis, la perspectiva de la escalera lo es de sus puntos de la circunferencia a las distintas alturas correspondientes, unidas al eje de la figura.
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En la figura podemos observar otra escalera de caracol, representamos en planta la circunferencia inscrita en el cuadrado y dividimos los sectores correspondientes a los peldaños en la planta. Hacemos la perspectiva del cuadrado en planta, por el punto de vista V hacemos rectas paralelas a la circunferencia dada en planta obteniendo de esta forma los puntos de fuga F1 F2 que unidos con las trazas o intersección de la prolongación de la rectas del cuadrado con la línea de tierra definen la perspectiva del cuadrado.
Para dibujar los peldaños basta con unir los puntos correspondientes a los extremos de cada arco del sector circular (por ejemplo los puntos NK) con el punto de vista V, en la intersección con la perspectiva de la circunferencia tenemos la perspectiva N’K’ de los peldaños (arco definido por los dos puntos N’K’).
Para darle las alturas correspondientes a cada peldaño, basta por hacer cada punto K extremo del arco del sector circular una línea vertical y proyectarla desde un punto cualquiera (por ejemplo el punto J) de la línea de horizonte sobre la línea de tierra, tomando sobre ésta la verdadera magnitud de ese segmento con la división de los peldaños correspondiente. Podemos hacer esto para cada uno de los peldaños tomando distintos puntos sobre el horizonte, de esta forma tenemos siempre la medida de cualquier segmento vertical sobre el punto que aparece en la perspectiva, en este caso sobre el punto K.
En la figura podemos observar un prisma y su perspectiva cónica o intersección de los rayos visuales con el plano del cuadro. Para determinar la perspectiva de cada vértice de la figura unimos cada punto R con el punto de vista V y en la intersección de esta línea con el plano del cuadro obtenemos su perspectiva R’. Para obtener la perspectiva de cada recta, la prolongamos hasta que corta al plano del cuadro en un punto que llamamos traza. Por el punto de vista hacemos una recta paralela a la anterior obteniendo en la intersección con el plano del cuadro su punto de fuga. A continuación unimos la traza con el punto de fuga y tenemos la perspectiva de la recta. Es el procedimiento que sea seguido para hacer la perspectiva de las dos líneas o aristas de la base de la figura ortogonales al plano del cuadro, obteniendo su punto de fuga en el punto principal P o proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro. Para determinar la localización exacta de cada punto de la base hicimos una recta diagonal w que pasar por dos puntos opuestos del rectángulo de la base. Está recta corta al plano del cuadro en su traza que unido al punto de fuga o punto de intersección de la misma dirección por el punto de vista con el plano del cuadro obtenemos la perspectiva de esta línea. Esta línea corta a las dos anteriores en dos puntos que definen los vértices de la diagonal del cuadrilátero de la base de la figura. Como las rectas paralelas se cortan en el infinito tenemos que la perspectiva de la línea w es la línea w’ y esa transformación es válida también si se hace un abatimiento del mismo ángulo, en este sentido contrario a los agujas del reloj, de manera que tenemos estas líneas abatidas sobre el plano del cuadro obteniendo así las rectas (w) (w), ambas resultan tras la transformación por abatimiento paralelas.
En la figura observamos la perspectiva cónica del prisma a partir de las tres proyecciones del sistema diédrico. Como podemos observar en la planta al unir el punto de vista con un punto de la figura R1 obtenemos su perspectiva sobre el plano del cuadro R’. En la proyección del perfil hacemos exactamente lo mismo, unimos el mismo punto R3 que habíamos cogido en planta con el punto de vista V y en la intersección con el plano del cuadro obtenemos su perspectiva R’. Tanto en la planta como en el perfil hacemos por estos dos puntos que hemos obtenido rectas octagonales m1 m3 al plano del cuadro obteniendo en la intersección la perspectiva del punto R’. Este es el procedimiento directo para obtener la perspectiva de cualquier punto dada la planta y el perfil de cualquier figura, se ha realizado con un único punto para no llenar de líneas el dibujo.
En la perspectiva se combina también un sistema perspectivo construido mediante las líneas de fuga: prolongamos cada una de las líneas del dibujo en planta hasta que cortan al plano del cuadro en la planta y a continuación subimos estos puntos llamados trazas a la línea de tierra LT. Cada uno de estos puntos trazas de las rectas lo unimos con su punto de fuga correspondiente que se obtiene al trazar por el punto de vista V una recta paralela a cada una de las líneas de la figura. De esta manera uniendo las trazas y los puntos de fuga tenemos la perspectiva de cada línea. Si por el punto de vista hacemos una paralela a las líneas de la base ortogonales al plano del cuadro obtenemos la fuga de estas líneas que coincide con el punto principal P.
Para obtener más puntos de la base de la figura hacemos la recta que pasa por la diagonal. Hacemos por el punto de vista una recta paralela a esta línea y obtenemos la fuga de esta línea, subimos el punto de fuga a la línea del horizonte y la trazar la línea de tierra y tenemos ya la perspectiva de la línea que corta a la perspectiva de las ortogonales por donde pasa el cuadrilátero de la base. La altura del objeto se coloca a partir de la línea de tierra y se proyecta hasta el punto de fuga de las líneas de la figura. En el dibujo se ha representado también el abatimiento de estos elementos sobre el plano del cuadro, el plano que pasa por el punto principal y por el punto de vista se abate en el sentido contrario a las agujas del reloj y se hace coincidir con el plano del cuadro, siguiendo el mismo sentido de giro el plano de la base de la figura se abate hasta hacerlo coincidir con el plano del cuadro, de esta manera podemos observar que la diagonal que pasar por los vértices de la base es paralela a la diagonal que pasa por el punto de vista y por el punto de fuga.
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