Métodos perspectivos

Método de tres puntos de fuga: fundamento

por el centro de proyección V se pasan tres planos paralelos a las caras de la figura a representar. La intersección de estos tres planos con el plano del cuadro genera las rectas límites o de horizonte de los planos. Sobre estas rectas límites tenemos en su intersección los puntos de fuga de cada una de las aristas de la figura al hacer por el centro de proyección V paralelas a las mismas.

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Método de tres puntos de fuga

podemos representar en sistema diédrico las transformaciones anteriores. Tenemos la perspectiva del prisma hecha con líneas discontinuas apoyada sobre un plano en la que su base aparece de color marrón, al prolongar los lados de la base tenemos las trazas de las rectas. Hacemos el abatimiento de la base obteniendo la planta del cuadrado en color amarillo. Proyectamos en el perfil esa misma base y el perfil de la figura en amarillo con las alturas correspondientes. En el perfil representamos con una línea vertical el plano del cuadro con la proyección del centro de proyección y su abatimiento.

Si unimos el centro de proyección con un punto A de la figura, obtenemos en el plano del cuadro la perspectiva de ese punto A’ que podemos proyectar en el alzado mediante una horizontal. La intersección de esa horizontal con la línea que une el punto de la perspectiva axonométrica de la figura con el punto principal P, nos determina la perspectiva del punto A’, y si tenemos la perspectiva de los puntos de la base de ahora los de la otra base, uniendo ambos cuadriláteros tenemos las alturas de la figura en perspectiva.

Método directo de la perspectiva: fundamento

en el método directo prescindimos de los puntos de fuga, es directo porque al unir el centro de proyección con la figura obtenemos en el plano del cuadro las perspectivas de cada uno de los puntos. Una vez que obtenemos estos puntos los proyectamos desde dos vistas y en la intersección de estas dos líneas de proyección de las vistas obtenemos la perspectiva de los puntos de la figura.

Método directo de perspectiva

aquí podemos ver el ejercicio resuelto el sistema diédrico, en planta unimos los vértices de la figura con el centro de proyección y en la intersección con el plano del cuadro en planta hacemos verticales. En el perfil unimos también los puntos del perfil de la figura con el centro de proyección y en la intersección con el plano del cuadro representado como una línea en el perfil, hacemos líneas horizontales. La intersección de las líneas horizontales y verticales nos determina los puntos de la perspectiva de la figura.

Abatimiento del geometral o por homología

el inconveniente de la perspectiva hecha por homología es que las figuras salen invertidas, lo que está delante aparece detrás. Para representar el triángulo dado en planta en verdadera forma, hacemos por el centro de proyección rectas paralelas a las tres líneas o lados del triángulo hasta que corten a la recta límite o de horizonte. En estos puntos de intersección con el horizonte los unimos con sus correspondientes a las trazas o puntos de corte de la figura dada con la traza del plano o línea de tierra. Al unir cada punto de la recta límite o de horizonte con cada punto de la línea de tierra obtenemos la perspectiva de las tres líneas en cuya intersección aparece la perspectiva del triángulo.

Como podemos observar en su representación espacial esto se basa en que siendo rectas paralelas se cortan en el infinito. Para hacer la imagen de una recta cualquiera basta con hacer una recta paralela por el centro de proyección, en el momento en que corte al plano del cuadro obtenemos el punto de fuga, unimos este punto con la traza de la recta que es donde la recta dada corta al plano del cuadro. La recta que pasa por el punto de fuga y la traza es la perspectiva de la recta dada.

Método del arquitecto

en el método del arquitecto tenemos la planta de la figura colocada en la parte superior junto con el plano del cuadro visto desde arriba. Al unir cada uno de los puntos de la figura en planta con el centro de proyección obtenemos sobre el plano del cuadro puntos en perspectiva de la figura que los proyectamos mediante líneas verticales a la representación en perspectiva de la misma, que representamos más abajo.

En la parte inferior marcamos la línea de tierra y la línea de horizonte hacia donde fugan todas las líneas horizontales, de manera que si por el centro de proyección hacemos rectas paralelas a las de la figura dada en planta obtenemos en la parte superior en la intersección con el plano del cuadro los puntos de fuga de esas rectas. Esos puntos de fuga los bajamos mediante líneas verticales hasta que corten en la parte de abajo a la línea del horizonte. Los puntos de fuga los unimos con las trazas de las rectas, que en este caso son coincidentes en un punto. Desde la traza de las rectas hasta los puntos de fuga obtenemos las rectas en perspectiva en cuya intersección con las verticales que pasan por los puntos A’ B’ obtenemos las aristas verticales de la figura.

Método combinatorio de las trazas y fugas

por el centro de proyección hacemos rectas paralelas a las de la figura hasta que corten al plano del cuadro en planta. En estos puntos de intersección hacemos rectas verticales y los unimos en la parte superior con el horizonte. Estos puntos los unimos con las trazas de las rectas, que se obtienen en la prolongación de los lados de la figura en la planta hasta que las rectas corten al plano del cuadro. Donde éstas rectas cortan al plano del cuadro tenemos puntos por los que hacemos verticales hasta que corten en la parte superior a la línea de tierra. Estos puntos los unimos con los puntos de fuga teniendo la perspectiva del cuadrilátero. A partir de una de las trazas de estas rectas ya en perspectiva se coloca la altura de la figura y se proyecta sobre el punto de fuga. Por el punto correspondiente en perspectiva se levanta una vertical y donde corte a la rectas de unión con el punto de fuga obtenemos la altura de la figura a partir de ese punto.

Fundamento del punto métrico

si hacemos centro en un punto de fuga F, tomando como radio del arco la distancia VF, obtenemos en la intersección con la línea de horizonte un punto llamado de medida o métrico. Si sobre la línea de tierra a partir del punto O que es donde la perspectiva de la línea corta a la línea de tierra tomamos sobre la línea de tierra segmentos iguales y los unimos con el punto métrico, tenemos que corta a la perspectiva de la recta según segmentos iguales a los de la línea de tierra.

Fundamento de la perspectiva de cuadro inclinado

aquí observamos la perspectiva de un prisma sobre un plano del cuadro inclinado. Por el centro de proyección de la perspectiva hacemos rectas paralelas a las aristas de la figura obteniendo así los puntos de fuga de la misma. Para obtener las alturas de la perspectiva unimos los puntos de la figura proyectada en el perfil con el centro de proyección de la perspectiva, en la intersección con el plano del cuadro en perfil obtenemos la perspectiva de estos puntos.

Perspectiva de cuadro inclinado

aquí observamos el ejercicio anterior resuelto en sistema diédrico. La proyección en alzado en azul oscuro es la perspectiva cónica de la figura. En el alzado en color claro hemos representado el prisma en proyección ortogonal, conforme a esta proyección obtenemos el perfil que giramos hasta hacerlo coincidir en la proyección en perfil con el plano del cuadro, de esta manera obtenemos la longitud que proyectamos sobre la planta.

En la intersección de estas dos líneas con las dos verticales que pasan por la proyección ortogonal en alzado tenemos el cuadrilátero en perspectiva dado en planta. Por este cuadrilátero hacemos una línea diagonal y por el abatimiento del centro de proyección hacemos una paralela a esta obteniendo en la línea de horizonte un punto que unimos con la intersección de la diagonal anterior con la línea de tierra. Si por la planta de la figura hacemos dos líneas verticales correspondientes al contorno de la misma cortan a la línea de tierra en dos puntos que unimos con el punto de fuga de esas líneas.

Perspectiva de cuadro inclinado: fundamento

aquí observamos la perspectiva del cono sobre un plano del cuadro inclinado.

Perspectiva de cuadro inclinado

el ejercicio anterior resuelto el sistema diédrico, planta, alzado y perfil de la figura girada en el perfil para obtener el diámetro de la misma y proyección sobre la planta.

La perspectiva de la base se hace como en otra usual, y el vértice que determina la altura del cono lo obtenemos en el perfil uniendo éste con el centro de proyección de la perspectiva. Donde ésta recta corta al plano del cuadro obtenemos un punto que proyectamos mediante una línea horizontal a la representación del alzado que es donde tenemos la perspectiva.

Esto en el alzado significa que tenemos que unir el punto principal de la perspectiva (proyección ortogonal del centro de proyección sobre el plano del cuadro) con el vértice del cono en proyección ortogonal. La intersección de esta línea con la horizontal que trazamos desde el perfil nos determina la perspectiva del vértice del cono. Por este mismo punto pasa también la perspectiva del eje de revolución del cono cuya fuga se obtiene haciendo por el centro de proyección en el perfil una paralela al eje del cono hasta que corta al plano del cuadro.

un prisma está apoyado en un plano oblicuo respecto al plano del cuadro. Por el centro de proyección se hacen rectas paralelas a las aristas de la figura obteniendo la intersección con el plano del cuadro los puntos de fuga de la misma. Para obtener cada uno de los puntos de la figura basta con unir el centro de proyección con los vértices de la misma, la intersección de estas rectas de unión con el plano del cuadro del perfil determina la perspectiva de los puntos.

en la figura observamos la planta, alzado y perfil de un prisma de color rojo. En el perfil observamos como la planta de la figura incide en un plano que se gira respecto a la línea de tierra hasta hacerlo coincidir con el plano del cuadro. De igual forma un plano paralelo al anterior que pasa por el centro de proyección hace que este punto obtenga su abatimiento sobre el plano del perfil.

En la proyección correspondiente al alzado aparecen ya estos dos planos abatidos, uno que contiene el centro de proyección y otro el que contiene a la figura en planta. Como podemos observar las líneas de la figura en planta son paralelas a las direcciones de las rectas abatidas que pasan por el centro de proyección abatido.

Uniendo las trazas de las rectas de la figura con los puntos de fuga obtenemos la perspectiva del cuadrado dado en planta. En el perfil unimos el centro de proyección con los vértices de la figura y en la intersección de estas rectas con el plano del cuadro hacemos líneas horizontales y las proyectamos sobre el alzado o perspectiva. Como las líneas verticales de la figura se cortan en el punto de fuga inferior tenemos que estas rectas que pasan por los vértices de la base en perspectiva cortan a las líneas horizontales anteriores en puntos que determinan las alturas de la figura en perspectiva.

aquí observamos un ejemplo análogo al anterior, con la salvedad de que el plano está inclinado hacia abajo, con lo que las líneas verticales de la figura fuga por encima del punto de vista. Observamos el ejemplo de la perspectiva de un punto que se determina mediante la intersección de dos rectas.

el ejercicio anterior resuelto en el sistema diédrico.

Nuevos métodos para nuevas perspectivas:

LA PERSPECTIVA CURVILÍNEA ESFÉRICA

Perspectiva curvilínea En una perspectiva cónica usual el plano del cuadro es plano, sin curvatura alguna, este detalle tiene el inconveniente de que si colocamos el plano del cuadro paralelo a una pared con baldosas, la perspectiva de las mismas son cuadrados que nunca pierden su dimensión aunque estén cada vez más alejados del observador. Por ello, la perspectiva lineal clásica no respeta el principio fundamental de la perspectiva, aquel que refiere que una misma dimensión de un objeto al estar más alejada debe aparecer más pequeña. Otro ejemplo muy claro lo tenemos en el caso de que nos asomemos a la ventana y observemos el edificio de enfrente, las líneas verticales de la fachada fugan hacia la parte de arriba si observamos hacia el cielo mientras que si observamos hacia el suelo esas mismas líneas verticales fugan hacia abajo. Si las mismas líneas paralelas  fugan en ambos sentidos, siendo no coincidentes, quiere decir que necesariamente se curvan. Para suplir este problema podemos construir una perspectiva que considere el plano del cuadro con curvatura, si es como en este caso una semiesfera la distorsión puede ser excesiva, pero no es un problema importante ya que lo que interesa es conocer bien la dirección de las líneas curvas que representan a las rectas. Aunque desconocemos con precisión lo que vemos, lo que percibimos, el hecho de que nuestra retina tenga curvatura nos hace pensar que el problema planteado  anteriormente sobre la perspectiva lineal o artificial, la perspectiva matemática propiamente dicha, es distinta de nuestra percepción espacial. No obstante no tenemos muy claro lo que vemos en perspectiva ya que la visión nítida o foveal al abarcar un ángulo muy pequeño nuestros ojos pueden observar la periferia pero sin tener muy claro qué es realmente lo que se está mirando por los laterales. Fundamento  En la planta se representa el punto de vista V1 y la semiesfera o esfera sobre la que se proyecta el espacio circundante con todos sus elementos. El punto de vista V coincide con el centro de la esfera. En el alzado representamos también el punto de vista V2 y el plano del cuadro que es la proyección de la semiesfera en el alzado. Podemos representar otra vista en perfil de la semiesfera y el punto de vista, aunque por regla general no es una vista necesaria, ya que un punto queda definido por dos proyecciones y se puede calcular como la intersección de dos rectas que pasan por él. La perspectiva que se tiene sobre la esfera proyectada en alzado no coincide con la perspectiva del observador colocado en el centro de la esfera, ya que la perspectiva obtenida sobre la esfera la estamos proyectando en el alzado ortogonalmente, en consecuencia esta perspectiva curvilínea es la proyección ortogonal sobre un plano  de los elementos espaciales proyectados previamente sobre la esfera desde  su centro. Para representar el punto sobre la perspectiva, imaginamos tres rectas que pasan por él, las correspondientes a los ejes, una recta paralela a la línea de tierra, una recta perpendicular al plano vertical o también llamada recta de punta y una recta vertical. Al alinear el punto de vista con el punto dado P3 en el perfil, considerando la recta paralela a la línea de tierra, tenemos un plano que pasa por estos elementos y que corta a la semiesfera según una circunferencia que se proyecta como elipse y cuyo eje menor queda definido por  la proyección de la intersección de la recta P3-V3 con la semiesfera. Al proyectar el punto T3 sobre el alzado obtenemos T2, que es el extremo del eje menor del elipse cuyas fugas son F2 H2, está elipse es la representación de la línea paralela a la línea de tierra que pasa por el punto dado P. De igual forma operamos en la planta, si consideramos la recta vertical que pasa por el punto dado y cuya proyección  es P1, tenemos que ésta recta y el punto de vista corta a la semiesfera según una circunferencia que pasa por los puntos M1-V1. Esta semicircunferencia se proyecta sobre la circunferencia del alzado o proyección de la semiesfera en alzado según una elipse cuyos puntos de fuga son L2 I2 y cuyo extremo que determina el eje menor de la elipse, corresponde a la proyección del punto M1 sobre el eje horizontal menor de la elipse, siendo este el semieje M2-V2. La intersección de las dos rectas definen el punto del que queremos saber la perspectiva, en consecuencia la perspectiva de las dos rectas  no es otra cosa que las dos elipses que determinan en su intersección la perspectiva P’del punto P. Si queremos representar una línea o recta de punta, esto es, una recta perpendicular al plano vertical, construimos un plano que pase por esta recta y por el punto de vista. Este plano en el alzado es un plano de canto o proyectante vertical por lo que la proyección de ésta circunferencia o círculo mayor es una recta que pasa por los puntos P2 V2 y obviamente por P’. En la figura podemos observar la esfera en planta, alzado y perfil.  Situado sobre el plano horizontal aparece un punto que queda determinado por sus tres proyecciones: en planta denominado Q en color verde, su proyección en alzado R en color magenta y su proyección L en el perfil en color amarillo. Sobre la esfera en el alzado aparece la perspectiva de las tres líneas coincidentes con los ejes que cartesianos que pasan por él, en color azul, verde y ocre. Para dibujar la elipse con precisión correspondiente a la proyección del plano de sección que definen cualquier recta y el punto de vista podemos dibujar una cónica por cinco puntos, los correspondientes a los extremos de los ejes mayor y menor y un punto determinado por la intersección de las líneas IV WB, siendo W el punto medio del segmento UV. Podemos observar sobre la geometría dinámica más abajo que al mover los puntos amarillo L y verde Q variamos la posición del punto obteniendo distintas perspectivas de las rectas que pasan por él, esto es la elipse verde, azul y la recta amarilla. Como sabemos la intersección de los tres elementos definen la perspectiva del punto, representado en el alzado por A1, en color rojo, perspectiva del punto R en alzado.

En este dibujo podemos observar el fundamento para construir la perspectiva de un segmento en el sistema diédrico. La recta oblicua azul definida en planta y alzado y el punto de vista V o centro de la esfera. Construimos el plano que pasa por ambos elementos y calculamos su sección, que es la elipse azul. Si por el punto de vista hacemos una recta paralela a la dada obtenemos en la intersección con la sección los dos puntos de fuga F T. Al unir los extremos del segmento con el punto de vista obtenemos en la intersección con la sección los extremos de la perspectiva del segmento y por tanto podemos decir que la perspectiva del segmento azul es el segmento rosa. Como podemos observar en el alzado tenemos un segmento azul y su perspectiva rosa, podemos verificar que efectivamente no son coincidentes, porque si lo fuera una recta en el espacio se transformaría en línea recta sobre la esfera, cosa contradictoria que sólo sucede cuando ésta incide en el alzado en el punto principal, que en esta perspectiva también coincide con el punto de vista proyectado. Podemos comprobar por tanto que la perspectiva de los elementos no coincide con los elementos proyectados ortogonalmente sobre el alzado, esta perspectiva es la proyección central sobre un plano esférico proyectado ortogonalmente en un alzado. En la figura podemos observar la representación de un cubo, las tres proyecciones del cubo en planta, alzado y perfil y la perspectiva del mismo en el alzado. Por ejemplo, para representar la recta vertical o arista del cubo s, construimos el plano vertical en planta que pasa por esta recta y el punto de vista V1. Este plano vertical cortar la esfera según un círculo mayor cuyo extremo T1 pasa por el ecuador de la esfera. Este punto lo proyectamos en el alzado obteniendo T2, siendo el eje menor de la elipse T2-V2 y el eje mayor Z2-W2. Todas las líneas verticales siguen el mismo procedimiento de construcción. Para representar una línea paralela a la línea de tierra, como el ejemplo de la recta n, pasamos el plano por esta recta y por el punto de vista y en el perfil observamos que el plano corta al meridiano de la esfera en P3, punto que proyectamos sobre el alzado obteniendo una elipse cuyo eje menor es P2-V2. Las demás rectas se obtienen siguiendo el mismo procedimiento. Todas las rectas perpendiculares al plano vertical o rectas de punta tienen el punto de fuga sobre la proyección del punto de vista en el alzado, esto es, en V2. Como son planos de canto las proyecciones de estos planos sobre la esfera son círculos mayores que en el alzado se transforman en rectas, rectas que pasan por los puntos o vértices del cubo en el alzado y que van hasta el punto de vista V2. La intersección de estas líneas con las dos elipses definen el cubo que se ha coloreado para mejor apreciación. En la figura podemos observar un cubo en proyección oblicua y su proyección central sobre la esfera desde V2. El procedimiento siempre es el mismo, la perspectiva de cada recta es la intersección del plano que pasa por esta recta y el punto de vista con la esfera.  Para acotar la longitud de la arista alineamos el punto de vista con los extremos o vértices de la arista y donde cortan al arco sección obtenemos la perspectiva curvilínea del segmento. La proyección en alzado es la perspectiva curvilínea que estamos utilizando, así por ejemplo, la línea que pasa la arista AB se transforma sobre la esfera en la circunferencia e, alineando los vértices o extremos de esta arista con el punto de vista V obtenemos en la intersección con la sección los puntos A’ B’. El arco elíptico A’B’ es la perspectiva de la arista, y la perspectiva de todas las aristas definen la perspectiva del cubo. La perspectiva del cubo del ejercicio anterior, se ha coloreado las caras interiores dejando la cara AEFB transparente para ver el interior. Podemos observar la perspectiva del cuadrilátero y la curvatura de todas las líneas, proyecciones elípticas ortogonales de curvas que son en la realidad circunferencias mayores de la esfera. En esta imagen más cercana podemos observar en detalle correspondiente a la figura anterior en el alzado, la proyección de dos caras en color amarillo y azul sobre la esfera, cada cuadrado se proyecta según cuatro círculos mayores y los vértices de éstos cuadrados están alineados con el punto de vista y la perspectiva de los puntos del cuadrado. Perspectiva curvilínea de un embaldosado En la figura podemos observar las tres esferas en planta, alzado y perfil. Un embaldosado sobre el plano horizontal que vamos a representar en la perspectiva curvilínea. El punto de vista V es el centro de la esfera y coincidente en el alzado con el punto principal P. todas las líneas perpendiculares al plano vertical, como la recta c, se transforman en las rectas azules de la perspectiva curvilínea. Todas las rectas paralelas a la línea de tierra (en color rojo), como la recta b, se transforman en elipses cuyo eje mayor es el segmento F1 F2, los dos puntos de fuga de las líneas paralelas a la línea de tierra. La intersección de las elipses y de las rectas azules definen la perspectiva curvilínea del embaldosado.  Como podemos observar una diagonal u de los cuadrados del embaldosado, tiene por perspectiva curvilínea la “recta” elíptica u’. El plano que pasa por esta recta y por el punto de vista corta a la esfera en planta según un círculo mayor que pasa por el punto H, que proyectado sobre el ecuador de la esfera en el alzado obtenemos el punto M, en consecuencia el diámetro menor de la elipse u’ pasa por M-P  y por los vértices de los cuadrados y el eje mayor de la elipse corresponde al diámetro vertical de la circunferencia a’, que es en realidad el meridiano que pasa por el plano V1-a. Si queremos representar la perspectiva de un punto N del embaldosado (definido por sus tres proyecciones en planta N1, alzado N2 y perfil N3), determinamos dos rectas b c que pasan por él. La perspectiva de la recta c queda definida por los puntos N2-P y la perspectiva de la recta b, que está a cuatro unidades del punto de vista tanto en la planta como en el perfil, queda definida en el perfil por su proyección que es el punto N3. La perspectiva de esta recta sobre la esfera será la sección del plano que define esta recta y el punto de vista V3, esto es, un círculo mayor cuyo extremo en el perfil es el punto L3, intersección de la recta N3-V3 y la circunferencia correspondiente al contorno de la esfera en el perfil. Al proyectar este punto extremo L3 sobre el alzado, se transforma sobre el eje vertical en el punto S2 que junto al punto principal P determina el eje menor de la elipse, y que junto a su eje mayor F1 F2, determina la perspectiva b’ de la recta b. En la perspectiva curvilínea podemos observar por tanto la perspectiva de estas dos líneas b’ c’ y su punto N’ de intersección, perspectiva de N. En la figura tenemos la perspectiva curvilínea de dos prismas, uno mayor y estrecho frente a la esfera y de color violeta y otro con sus caras iguales (cubo) y de caras de distintos colores. Ese prisma se prolonga en la planta y en el alzado interfiriendo con su proyección en el perfil, para ahorrar espacio.  Respecto a la perspectiva del ejercicio anterior tenemos como novedad que la recta a paralela a la línea de tierra se solapa en el perfil con la esfera de proyección. El procedimiento es el mismo se alínea esa recta a paralela a la línea de tierra con el punto de vista de la tercera protección y en la prolongación de esta línea tenemos que corta al contorno de la esfera en a’. Este punto se proyecta ortogonalmente sobre el alzado hasta el eje vertical que pasa por el punto principal P, obteniendo de esta forma el diámetro menor a’’-P de la elipse. Al construir la elipse completa observamos que efectivamente es la intersección de los dos planos del cubo, el amarillo y naranja. Tenemos otra novedad respecto al ejercicio anterior y es que un punto cualquiera del prisma, por ejemplo el punto N determinado por las proyecciones N1 N2, tiene en el alzado su perspectiva sobre la recta N2-P como ya se ha visto, ya que son 2 puntos pertenecientes a la traza de un plano de canto o proyectante vertical, perpendicular al plano vertical y por lo tanto sus proyecciones están los dos sobre la traza de ese plano. La perspectiva del punto N se obtiene alineando en la planta su proyección N1 con el punto de vista V1 obteniendo en la intersección del plano vertical que pasa por esta recta y el punto de vista con la esfera, un círculo mayor cuyo extremo del eje menor elíptico en que se transforma es el punto J’. En consecuencia al trazar la elipse de diámetro mayor, el correspondiente a la esfera y el diámetro menor J’-P, observamos que corta a la recta N2-P en N’, perspectiva del punto N. Otra novedad respecto a los ejercicios anteriores es que el plano del suelo representado en planta, es de color azul y su perspectiva curvilínea en el alzado está acotado dentro de la esfera, dejando ver más allá del plano del suelo azul parte del prisma, para ver nuevamente después a partir de la vertical por N2 el resto de el suelo en color azul más claro como si fuera una perspectiva cónica usual, sin plano del cuadro curvo, esto es, la representación del suelo entre la línea de tierra LT y la línea del horizonte LH. Esto es un efecto lupa de la esfera que comprime el espacio permitiendo representar todos los elementos que entren dentro de 180°, acorde a una aproximación a nuestra visión con los dos ojos, de esta manera podemos observar gran parte del espacio, incluido el cubo aunque esté en una posición muy lateral respecto al punto de vista; eso sí, cuanto más periférico éste el objeto respecto al punto principal P más distorsionada va a salir su perspectiva curvilínea, es lo que se llama en perspectiva una anamorfosis. http://geometria-de-la-esfera.blogspot.com.es/  En el dibujo podemos ver la perspectiva axonométrica de una habitación con dos tabiques de color verde y rosado y una puerta sobre uno de ellos, el suelo azul y el techo sería amarillo aunque  no aparece para no interferir en el dibujo. Observamos además la semiesfera de proyección, el centro V de la misma o punto de vista y todos los vértices de la habitación alineados con el punto de vista, la intersección de estas líneas con la esfera definen los puntos de la perspectiva. De esta forma podemos ver por ejemplo que el cuadrilátero EFGA se transforma en la perspectiva curvilínea en los puntos E’F’G’A’. Como ya hemos visto la perspectiva de cada recta es la intersección del plano que pasa por ella y por el centro del esfera, esto quiere decir que siempre es una circunferencia que proyectada sobre un nuevo plano de proyección ortogonalmente se transforma por regla general en una curva elíptica, en algunas excepciones se transforma en una recta, cuando el plano que pasa por el centro de la esfera y la recta es perpendicular al plano de proyección sobre el que se representa la perspectiva curvilínea. En este ejercicio vemos resuelta la perspectiva curvilínea representada en el ejercicio anterior, como siempre colocamos las tres proyecciones de la semiesfera y el objeto a representar cuando menos en planta y en alzado. Calculamos la intersección de los planos que pasan por las rectas a representar y por el punto de vista V, de esta forma obtenemos las circunferencias que proyectadas en el alzado se transforman en elipses. Como podemos observar en el alzado todos los puntos de la perspectiva curvilínea están alineados con los puntos de la proyección en alzado de la figura, de esta manera tenemos que, por ejemplo, B2-B’-V2 están alineados. Para obtener la perspectiva de una recta a construimos el plano que pasa por la recta y por el centro de la esfera O. La intersección del plano aO con la esfera es la perspectiva de la recta a sobre la esfera y la proyección de la intersección en el alzado es la perspectiva curvilínea de la recta. Para calcular con precisión la elipse y sus ejes, partimos del sistema diédrico de los datos tal y como aparecen en la figura a la izquierda: una esfera representada por sus proyecciones en planta y alzado y una recta oblicua a determinada por sus proyecciones a1 a2  de la que vamos a calcular su perspectiva. A la derecha observamos la resolución del ejercicio, por el centro de la esfera en el alzado o punto de vista O2 hacemos una recta paralela a la línea de tierra hasta que corte a la recta dada a2, en el punto de intersección bajamos una vertical hasta que corte a la proyección a1, uniendo el punto de intersección con el centro de la esfera en planta tenemos la dirección de la traza horizontal del plano que determinan la recta dada y el centro de la esfera. Por la traza de la proyección de la recta a1 hacemos una línea paralela a esa dirección obteniendo así la traza del plano oblicuo épsilon 1. Para obtener la traza vertical unimos el punto de intersección de la traza horizontal del plano y de la línea de tierra con la traza vertical a2 de la recta teniendo de esta forma épsilon dos. Para obtener los diámetros de la elipse, por ejemplo el diámetro CD, sabemos que es paralelo a la traza épsilon uno, por el centro del esfera donde esta recta paralela a esa dirección corta al contorno del esfera obtenemos C1-D1, que es el eje mayor de la elipse en planta. Para obtener el eje menor podemos hacer un cambio de plano proyectando la esfera sobre un nuevo plano de proyección, abatiendo la sección que pasa por el centro de la esfera, obtenemos así en el abatimientodel plano la sección (E1) (F1), que es la intersección del plano en esta nueva proyección con el perfil de la esfera por el centro. Para representar en esta nueva proyección la esfera colocamos la cota o altura del centro del esfera apoyada sobre el plano con la nueva línea de tierra, como sabemos que el plano pasa por el centro de proyección abatido (O1) tenemos ya la pendiente del plano, que es el ángulo que forma la recta (E1) (F1) y la recta correspondiente a la nueva línea de tierra (en color rojo). Proyectamos los puntos (E1) (F1) sobre la esfera en planta y sobre el diámetro perpendicular a C1 D1, obteniendo de esta forma en su intersección los puntos E1 F1. Para obtener los ejes principales de la elipse en el alzado, subimos C1 D1 mediante proyecciones ortogonales a la línea de tierra al alzado y donde corta  a la recta paralela a la línea de tierra por el centro de la esfera obtenemos C2 D2, la proyección en el alzado de C1 D1. El diámetro A2 B2 se obtiene al hacer por el centro de la esfera O2 en el alzado una recta paralela a la traza épsilon dos, donde  esta línea corta al contorno de la esfera obtenemos los puntos A2 B2, que son los que definen el diámetro mayor de la elipse en el alzado. Para obtener la longitud exacta del diámetro menor haríamos como en la planta, mediante un abatimiento o proyección del plano que pasa por el centro de la esfera, determinando de esta manera la intersección con el plano de corte de la misma, así procedimos también en la tercera proyección para determinar el eje menor de la elipse, mientras que en esta proyección tenemos también al igual que en las otras dos que el diámetro mayor de la elipse G3 H3 es paralelo a la traza del plano épsilon tres, donde esta  línea que pasa por el centro de la esfera O3 corta al contorno de la misma obtenemos G3 H3. Como ya se vio anteriormente la perspectiva curvilínea de la recta a2 es el arco elíptico A2 B2, ambos elementos coplanarios con el centro de la esfera o punto de vista O2. En la siguiente página podemos ver el cálculo de la sección de la esfera por abatimiento: http://seccion-diedrica-de-esfera.blogspot.com.es/